P2515 [HAOI2010]软件安装 题解

首先看到这道题，每个软件有体积有价值，加上其有依赖关系，就能够想到这是道树上背包问题。

树上背包问题的方程就不再赘述了，不会的读者可以自行百度，这类经典问题网上讲解的还是挺多的。

如果软件 $x$ 依赖 $y$，那么就连边 $y \to x$。

然后你高高兴兴的打出了树上背包问题的代码，结果……10pts。

问题在于这道题有 $n$ 条边不是 $n-1$ 条，因此可能会存在环。

比如说下面这张图：

如图，当 3 个软件互相依赖的时候就会形成环，只能要么都选要么都不选。

那么对于这种环我们可以采用一种手段叫做缩点。

我们可以先处理出所有的 SCC（强连通分量），对于每个 SCC 缩成一个点。

然后如果你从这里开始打代码，还是 10pts。

因为你根本没法保证缩点之后的图是连通的。

所以我们需要一个虚拟节点 0 号节点，其体积和价值都是 0，所有没有依赖的点全部视为依赖 0。

这样，就是真正的树上背包了。

这道题还有几个细节需要注意：

• 缩点的时候新旧图不要弄错。
• 建立新图的时候只有没有依赖的点其父亲才能设为 0。
• 树上背包板子不要写错。

Code：GitHub CodeBase-of-Plozia P2515 [HAOI2010]软件安装.cpp