P4396 [AHOI2013]作业 题解

一道莫队好题。

我们需要考虑的是如何去统计一个区间内的符合题意的答案。

这里有两种做法：

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做法一：树状数组/线段树。

我们可以开一个值域树状数组/值域线段树，在每一次莫队增/删的时候我们在对应位置进行单点修改操作，维护一下一个区间内的数的个数以及不同数的个数。

最后统计答案的时候，进行一次区间查找操作。

时间复杂度分析（不计预处理复杂度）：

莫队转移复杂度是 $O(n \sqrt{m})$，其中块长是 $\dfrac{n}{\sqrt{m}}$，块数是 $\sqrt{m}$，在转移过程中线段树单点修改和区间查询复杂度都是 $O(\log n)$，因此总复杂度是 $O(n \sqrt{m} \log n + \sqrt{m} \log n) \to O(n \sqrt{m} \log n)$。

由于 $n,m$ 同阶，上述复杂度可以记为 $O(n \sqrt{n} \log n)$。

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做法二：

发现上述做法对于修改操作和查询操作复杂度是一样的，都是 $O(\log n)$。

但是显然查询复杂度 $O(\sqrt{m})$ 远小于转移复杂度 $O(n \sqrt {m})$，因此我们可以考虑使用一种奇怪的数据结构使得其能够 $O(1)$ 修改，$O(?) \leq O(n)$ 修改。

这里就有一种数据结构叫做值域分块。

对于修改操作，我们直接在对应位置上修改，复杂度 $O(1)$。

查询的时候，我们进行一次区间查询，复杂度 $O(\sqrt{V})$，$V$ 是值域。

时间复杂度分析：

转移操作总复杂度是 $O(n \sqrt{m})$，修改操作 $O(1)$。

查询操作总复杂度是 $O(\sqrt{m})$，单次查询 $O(\sqrt{V})$。

因此总复杂度是 $O(n\sqrt{m}+\sqrt{mV})$。

由于 $n,m,V$ 同阶，上述复杂度可以简记为 $O(n\sqrt{n}+\sqrt{n^2})=O(n\sqrt{n}+n)=O(n\sqrt{n})$，发现比做法一少了一个 $\log$。

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作者采用的是第二种做法。

Code：GitHub CodeBase-of-Plozia P4396 [AHOI2013]作业.cpp