数学/数论专题-专项训练：线性基#1

目录

• 1. 前言
• 2. 练习题
  • P4570 [BJWC2011]元素
  • P3857 [TJOI2008]彩灯
  • P3292 [SCOI2016]幸运数字
• 3. 总结

1. 前言

本篇博文是作者学习线性基的专项训练。

• 数学/数论专题-学习笔记：线性基

本文默认你已经学会了线性基及其性质，及其简单应用。

2. 练习题

题单：

• P4570 [BJWC2011]元素
• P3857 [TJOI2008]彩灯
• P3292 [SCOI2016]幸运数字

P4570 [BJWC2011]元素

这道题的解法：贪心+线性基。

由于线性基有一个优秀的性质：无论一个序列的线性基怎么变，其线性基内数的个数都是相同的，关键是看你怎么排列数的顺序，那么我们可以贪心。

考虑将所有石头按照魔力值从大到小排序，然后直接做线性基，能插入的数就加上其魔力值。

对于正确性证明：如果你对于线性基上面这个性质学过证明的话，这个是真的非常好证明的（甚至不用证）。

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这里简要证明一下：

假设我们现在有一组线性基 $d_1,d_2,...,d_k$，现在要插入 $x$，而 $x$ 插入失败。

这说明 $d_{a_1} \oplus d_{a_2} \oplus ... \oplus d_{a_j}=x$。

根据异或的性质：$x \oplus d_{a_1} \oplus ... \oplus d_{a_{j-1}}=d_{a_j}$。

那么实际上你调整这些数的插入顺序是没有问题的。

证毕。

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Code：GitHub CodeBase-of-Plozia P4570 [BJWC2011]元素.cpp

P3857 [TJOI2008]彩灯

这道题首先我们可以将题中的控制开关状态转变成一个二进制数。

然后实际上题中所说的按下开关就是异或。

那么因此这道题要求方案数，实质上就是要求原序列能够构成的线性基中数的多少。

由于线性基有一个很优秀的性质：原数列与线性基能异或出来的数是相同的，因此实际上我们知道了线性基内有 $cnt$ 个数，那么答案就是 $2^{cnt}$。

Code：GitHub CodeBase-of-Plozia P3857 [TJOI2008]彩灯.cpp

P3292 [SCOI2016]幸运数字

这道题的解法是倍增 LCA + 线性基。

下面假设你已经学会了倍增 LCA。

首先回顾倍增 LCA 的过程：通过倍增合并 $f_{i,j}$ 到 $f_{i,j+1}$ 上。

实际上线性基也是可以合并的，合并方式就是将一个线性基插入到另外一个线性基里面。

因此既然线性基可以合并，那么根据倍增 LCA 的思路，我们同样可以倍增合并线性基。

设 $p_{i,j}$ 表示第 $i$ 个节点向上跳 $2^{j-1}$ 步之后路径上的所有节点所构成的线性基。

那么首先可以通过预处理 LCA 预处理出所有的线性基。

然后对于一组询问 $(x,y)$，考虑在求 LCA 的时候边跳 $x,y$ 边合并线性基，然后对于合并完成的线性基求一次最大值就好。

Code：GitHub CodeBase-of-Plozia P3292 [SCOI2016]幸运数字.cpp

3. 总结

线性基还有一篇专项训练：数学/数论专题-专项训练：线性基#2，总结在这里。