数学/数论专题-学习笔记：线性基

目录

• 1. 前言
• 2. 详解
  • 2.1 定义与性质
  • 2.2 构造线性基
• 3. 应用
  • 3.1 最大值问题
  • 3.2 最小值问题
  • 3.3 第 k 小问题
  • 3.4 异或和问题
• 4. 总结

1. 前言

线性基，是线性代数中的一个板块，专门处理异或问题。

注意作者是个 OIer，因此并不会涉及（或者是极少的）线性代数知识。

注意本文所讲线性基跟向量无关。

前置知识：二进制，位运算。

2. 详解

2.1 定义与性质

线性基的定义如下：

给出一个数列 $a_1,a_2,...,a_n$，若一个序列 $d_1,d_2,...,d_k$ 满足以下性质：

• 所有原数列中的元素能够异或出来的值 $d$ 中的数也能异或出来。
• 满足性质 1 的前提下，$d$ 中的数不能异或出 0。
• 满足性质 2 的前提下，$d$ 中的数最少。

那么就称 $d$ 是原序列 $a$ 的一组线性基。

注意上述性质中的异或指的是从数列中选出一些数一起异或。

实际上任意数列 $a$ 都有至少一组线性基。

2.2 构造线性基

这个方法需要用到一个性质：$a \oplus b=c \Leftrightarrow a \oplus c=b$。

首先考虑将所有 $a_i$ 转成二进制，然后从二进制最高位开始扫，对于第 $x$ 位，如果 $d_x$ 不存在，那么 $d_x=a_i$，否则 $a_i \gets a_i \oplus d_x$，一个一个插入即可。

Code：

void add(LL x)
{
    for (int i = 50; i >= 0; --i)
    {
        if (x & (1ll << i))
        {
            if (d[i] & x) x ^= d[i];
            else { d[i] = x; break ; }
        }
    }
}

那么这份代码如何满足上述 3 个性质呢？

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性质 1：原序列能够异或出来的数线性基也能够异或出来。

性质 2：线性基内的数不能异或出 0。

这两条性质都是根据 $a \oplus b=c \Leftrightarrow a \oplus c=b$ 来证明的。

由于 $x \oplus d_i = d_j \Leftrightarrow d_i \oplus d_j = x$，因此性质 1 得证。

性质 2 采用反证法：假设 $d_i \oplus d_j \oplus d_k=0$，$d_k$ 最晚插入。

这里只讨论 3 个数的理由是实际上你可以将 $d_i$ 看成多个数异或。

上式等价于 $d_i \oplus d_j= d_k$。

于是根据代码，$d_k$ 不应该被插入线性基，矛盾。

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性质 3 的证明：

显然对于所有存在的 $d_i$ 而言，第 $i$ 位二进制位一定是 1。

既然如此，如果删去任何一个数，都会导致有一位二进制位空缺，因此这些数是必要的，同时又是最少的。

3. 应用

3.1 最大值问题

该问题的详述描述如下：给出数列 $\{a_i\}$，从中选一些数使其异或结果最大。

根据线性基的性质 1，我们可以构造线性基。

构造之后直接暴力按照 $d_i$ 从大到小枚举，然后看一下跟答案异或能否使答案变大，能就异或。

实际上就是一个贪心的思想。

为什么这样贪心是对的呢？

如果第 $i+1$ 位通过异或变成了 1，即使 $1-i$ 位通过异或都变成了 0，答案也一定是增大的。

因此贪心是正确的。

3.2 最小值问题

这个问题有两类：

第一类问题：问线性基能异或出的最小值。

这个直接就是最小的 $d_i$，因为最小的 $d_i$ 无论异或谁都会变大。

第二类问题：问原序列能异或出的最小值。

这个还需要看一下有没有元素插入失败，如果有就是 0，否则还是最小的 $d_i$。

3.3 第 k 小问题

该问题的详细描述如下：给出序列 $\{a_i\}$，取出任意数进行异或，问能异或出的所有值的第 $k$ 小。

首先我们需要对线性基做一个处理。

对于每一个 $d_i$，如果 $d_i$ 二进制表示第 $j$ 位为 1，那么 $d_i \gets d_{j-1} \oplus d_i$。

然后对 $k$ 做二进制拆分，如果第 $i$ 位为 1，那么答案异或上 $d_i$。

这样做的正确性就是考虑到 $d_i$ 实质作用是提供最高位的 1，因此只要所有 1 能够跟 $k$ 对应答案就是第 $k$ 小。

实际上转换后的线性基还是线性基。

3.4 异或和问题

详细描述：给出序列 $\{a_n\}$，选若干个数异或，问可能的结果的和。

首先得出线性基，设大小为 $s$，枚举每一个二进制位 $d$，如果存在一个线性基中的数，该位为 1，那么这位的贡献是 $2^d \times 2^{s-1}$，所有贡献加起来即可。

正确性证明：$2^d$ 是这一位的值，$2^{s-1}$ 是别的位能异或出的结果种数，保证结果种数互不相同是因为保证个数最小，此时就保证了不会出现两组不同的数，其异或值相同。

4. 总结

线性基的三大性质：

• 所有原数列中的元素能够异或出来的值线性基中的数也能异或出来。
• 线性基中的数不能异或出 0。
• 线性基中的数最少。

构造方式：首先考虑将所有 $a_i$ 转成二进制，然后从二进制最高位开始扫，对于第 $x$ 位，如果 $d_x$ 不存在，那么 $d_x=a_i$，否则 $a_i \gets a_i \oplus d_x$，一个一个插入即可。

最大值问题：贪心从大到小求解。

最小值问题：最小 $d_i$ 或者是 0。

第 $k$ 小问题：转换线性基后直接二进制拆分。

异或和问题：枚举二进制位后算贡献 $2^{d} \times 2^{s-1}$。