数学/数论专题-学习笔记：线性基
1. 前言
线性基，是线性代数中的一个板块，专门处理异或问题。
注意作者是个 OIer，因此并不会涉及（或者是极少的）线性代数知识。
注意本文所讲线性基跟向量无关。
前置知识：二进制，位运算。
2. 详解
2.1 定义与性质
线性基的定义如下：
给出一个数列 \(a_1,a_2,...,a_n\)，若一个序列 \(d_1,d_2,...,d_k\) 满足以下性质：
- 所有原数列中的元素能够异或出来的值 \(d\) 中的数也能异或出来。
- 满足性质 1 的前提下，\(d\) 中的数不能异或出 0。
- 满足性质 2 的前提下，\(d\) 中的数最少。
那么就称 \(d\) 是原序列 \(a\) 的一组线性基。
注意上述性质中的异或指的是从数列中选出一些数一起异或。
实际上任意数列 \(a\) 都有至少一组线性基。
2.2 构造线性基
这个方法需要用到一个性质：\(a \oplus b=c \Leftrightarrow a \oplus c=b\)。
首先考虑将所有 \(a_i\) 转成二进制，然后从二进制最高位开始扫，对于第 \(x\) 位，如果 \(d_x\) 不存在，那么 \(d_x=a_i\)，否则 \(a_i \gets a_i \oplus d_x\)，一个一个插入即可。
Code：
void add(LL x)
{
for (int i = 50; i >= 0; --i)
{
if (x & (1ll << i))
{
if (d[i] & x) x ^= d[i];
else { d[i] = x; break ; }
}
}
}
那么这份代码如何满足上述 3 个性质呢？
性质 1：原序列能够异或出来的数线性基也能够异或出来。
性质 2：线性基内的数不能异或出 0。
这两条性质都是根据 \(a \oplus b=c \Leftrightarrow a \oplus c=b\) 来证明的。
由于 \(x \oplus d_i = d_j \Leftrightarrow d_i \oplus d_j = x\)，因此性质 1 得证。
性质 2 采用反证法：假设 \(d_i \oplus d_j \oplus d_k=0\)，\(d_k\) 最晚插入。
这里只讨论 3 个数的理由是实际上你可以将 \(d_i\) 看成多个数异或。
上式等价于 \(d_i \oplus d_j= d_k\)。
于是根据代码，\(d_k\) 不应该被插入线性基，矛盾。
性质 3 的证明：
显然对于所有存在的 \(d_i\) 而言，第 \(i\) 位二进制位一定是 1。
既然如此，如果删去任何一个数，都会导致有一位二进制位空缺，因此这些数是必要的，同时又是最少的。
3. 应用
3.1 最大值问题
该问题的详述描述如下：给出数列 \(\{a_i\}\)，从中选一些数使其异或结果最大。
根据线性基的性质 1，我们可以构造线性基。
构造之后直接暴力按照 \(d_i\) 从大到小枚举，然后看一下跟答案异或能否使答案变大，能就异或。
实际上就是一个贪心的思想。
为什么这样贪心是对的呢？
如果第 \(i+1\) 位通过异或变成了 1，即使 \(1-i\) 位通过异或都变成了 0，答案也一定是增大的。
因此贪心是正确的。
3.2 最小值问题
这个问题有两类：
第一类问题：问线性基能异或出的最小值。
这个直接就是最小的 \(d_i\)，因为最小的 \(d_i\) 无论异或谁都会变大。
第二类问题：问原序列能异或出的最小值。
这个还需要看一下有没有元素插入失败，如果有就是 0，否则还是最小的 \(d_i\)。
3.3 第 k 小问题
该问题的详细描述如下：给出序列 \(\{a_i\}\)，取出任意数进行异或，问能异或出的所有值的第 \(k\) 小。
首先我们需要对线性基做一个处理。
对于每一个 \(d_i\)，如果 \(d_i\) 二进制表示第 \(j\) 位为 1，那么 \(d_i \gets d_{j-1} \oplus d_i\)。
然后对 \(k\) 做二进制拆分，如果第 \(i\) 位为 1，那么答案异或上 \(d_i\)。
这样做的正确性就是考虑到 \(d_i\) 实质作用是提供最高位的 1，因此只要所有 1 能够跟 \(k\) 对应答案就是第 \(k\) 小。
实际上转换后的线性基还是线性基。
3.4 异或和问题
详细描述：给出序列 \(\{a_n\}\)，选若干个数异或，问可能的结果的和。
首先得出线性基，设大小为 \(s\)，枚举每一个二进制位 \(d\)，如果存在一个线性基中的数，该位为 1，那么这位的贡献是 \(2^d \times 2^{s-1}\)，所有贡献加起来即可。
正确性证明：\(2^d\) 是这一位的值，\(2^{s-1}\) 是别的位能异或出的结果种数，保证结果种数互不相同是因为保证个数最小，此时就保证了不会出现两组不同的数，其异或值相同。
4. 总结
线性基的三大性质：
- 所有原数列中的元素能够异或出来的值线性基中的数也能异或出来。
- 线性基中的数不能异或出 0。
- 线性基中的数最少。
构造方式：首先考虑将所有 \(a_i\) 转成二进制，然后从二进制最高位开始扫，对于第 \(x\) 位，如果 \(d_x\) 不存在，那么 \(d_x=a_i\)，否则 \(a_i \gets a_i \oplus d_x\)，一个一个插入即可。
最大值问题：贪心从大到小求解。
最小值问题：最小 \(d_i\) 或者是 0。
第 \(k\) 小问题：转换线性基后直接二进制拆分。
异或和问题：枚举二进制位后算贡献 \(2^{d} \times 2^{s-1}\)。
