图论专题-专项训练：点分治

目录

• 1. 前言
• 2. 练习题
  • P4178 Tree
  • P2634 [国家集训队]聪聪可可
  • P4149 [IOI2011]Race
• 3. 总结

1. 前言

本篇博文是作者在学习点分治这一算法的时候做的一些题目的总结。

前置知识：点分治算法。

• 图论专题-学习笔记：点分治

2. 练习题

题单：

• P4178 Tree
• P2634 [国家集训队]聪聪可可
• P4149 [IOI2011]Race

P4178 Tree

考虑点分治。

这道题需要求的是路径长度小于等于 $k$ 的情况，那么在点分治的 Solve 中我们需要做一点改变。

考虑建一棵值域线段树 $Tree$ 用来维护所有当前已经出现过的路径，如果路径长度为 $p$ 的路径出现过，那么就在值域线段树中对应的做一次单点 +1。

那么在点分治的过程中，考虑处理出所有能够出现的路径，假设当前子树处理出的路径为 $\{tmp\}$，那么对于所有 $tmp_i \leq k$，在线段树中查询 $[0,k - tmp_i]$ 的和就可以了。

一个优化就是如果我们每次 Solve 都要重新建一棵值域线段树，那么建树复杂度就是 $O(k\log n)$ 的，因此我们可以考虑采用区间推平的手段，在根节点处打一个 lazy_tag 用来标记当前这一段是否全部为 0（被推平），这样每一次我们只需要在根节点处推平一次就可以了，复杂度降至 $O(\log n)$。

Code：Github CodeBase-of-Plozia P4178 Tree.cpp

P2634 [国家集训队]聪聪可可

考虑点分治。

首先这道题一定要看一下样例解释，否则你会发现写完了根本调不出来。

这道题需要注意的几个点：

• 聪聪和可可是可以选两个相同的点的。
• $(u,v)$ 和 $(v,u)$ 算作两个不同的点对（$u \neq v$）。

这样，总的点对个数是 $n^2$，我们只需要统计路径长度为 3 的倍数的路径就好。

对于 $(u,u)$ 这样的点对，显然只有 $n$ 对，在最后计算答案的时候加上就好。

在 Solve 中开一个 $book$ 数组来统计，其中 $book_i$ 表示模 3 为 $i$ 的路径有多少条。

设当前子树统计结果是 $tmp$，那么这棵子树对答案的贡献就是 $2 \times (tmp_0 \times book_0 + tmp1 \times book_2 + tmp2 \times book_1)+2 \times tmp_0$。

最后的答案就是 $\dfrac{ans+n}{n^2}$，注意约分。

Code：Github CodeBase-of-Plozia P2634 [国家集训队]聪聪可可.cpp

P4149 [IOI2011]Race

考虑点分治。

emm如果你对点分治的套路足够熟悉的话这道题就是道裸题。

我们开一个桶 $book$，其中 $book_i$ 表示路径长度为 $i$ 的路径经过边数的最小值。

然后拿 $tmp$ 做类似的玩意，转移就好了。

Code：Github CodeBase-of-Plozia P4149 [IOI2011]Race.cpp

3. 总结

点分治的题目通常都带有路径统计的特点，其考点通常在 Solve 函数上，如何设计 Solve 函数是关键。