图论专题-学习笔记：点分治

目录

• 1. 前言
• 2. 详解
  • 2.1 树的重心
  • 2.2 点分治
• 3. 总结

1. 前言

点分治，是一种图论算法，专门用于一类树上路径统计问题。

前置知识：无。

2. 详解

2.1 树的重心

讲点分治之前我们先来讲讲树的重心。

树的重心的定义是这样的：在一棵树中，如果以一个点为根，其所有儿子的子树大小最大值是最小的，那么这个点就是树的重心。

换言之，树的重心需要满足其子树的最大值最小。

比如下面这棵树，1 号点就是树的重心。

树的重心有一个很重要的性质：其最大子树大小小于等于 \(\dfrac{n}{2}\)。

那么怎么求树的重心呢？一遍 DFS 就可以啦~

Code：

void Get_Root(int now, int father)
{
    Size[now] = 1, Maxn[now] = 0;
    for (int i = Head[now]; i; i = Edge[i].Next)
    {
        int u = Edge[i].to;
        if (u == father) continue ;
        Get_Root(u, now);
        Size[now] += Size[u];
        Maxn[now] = Max(Maxn[now], Size[u]);
    }
    Maxn[now] = Max(Maxn[now], sum - Maxn[now]);
    if (Maxn[now] < Maxn[Root]) Root = now;
}

2.2 点分治

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P3806 【模板】点分治1

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树的路径分两类：经过根的，不经过根的。

对于这些经过根的，我们可以通过一个 Solve 函数来计算这些路径的贡献。

对于这些不经过根的，我们可以分治一波，在其子树内做同样的事情，这样这些路径最后一定会经过某个根。

比如这样：

在统计完经过根的路径以后，删除这个根，对 3 棵圈起来的子树做一个同样的处理。

这就是点分治的主要思想。

那么选哪个点作为根呢？

如果你随便选根就会出现一个问题：对于一条链而言，如果每一次选端点作为根，复杂度就是 \(O(n^2)\) 的。

因此我们需要重新选一下根。

那么怎么选根呢？树的重心是个不错的选择。

由于树的重心有个不错的性质：其最大子树大小小于等于 \(\dfrac{n}{2}\)，因此每一次选取树的重心就可以做到复杂度为 \(O(n \log n)\)。

现在总结一下我们的思路：

1. 首先选取树的重心为根。
2. 统计经过根的所有路径对答案的贡献。
3. 递归分治，重复 1,2 步骤。

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点分治里面 1,3 非常板子，2 非常灵活，也是点分治的难点所在。

对于模板题而言，我们需要知道在一棵子树当中，哪些长度的路径是存在的，存在 \(book\) 数组当中。

然后假设询问长度为 \(q\)，当前已经知道的存在的路径长度为 \(t\)，如果 \(q-t\) 路径长度存在，那么说明 \(q\) 可以被组合出来。

为此，我们首先需要在子树中处理出所有到达根的路径的长度，然后将这些长度跟之前的长度组合，看看能不能组合出 \(q\)。

但是需要注意的是不能出现两条路径在同一棵子树出现的情况，这个看代码就好。

Code：Github CodeBase-of-Plozia P3806 【模板】点分治1.cpp

3. 总结

1. 首先选取树的重心为根。
2. 统计经过根的所有路径对答案的贡献。
3. 递归分治，重复 1,2 步骤。