数学/数论专题-学习笔记：乘法逆元

目录

• 1. 前言
• 2. 详解
  • 2.1 定义+作用
  • 2.2 exgcd 求法
  • 2.3 快速幂求法
  • 2.4 线性递推式
  • 2.5 阶乘及其逆元
• 3. 总结

1. 前言

本篇文章是作者学习乘法逆元的时候的一些学习笔记。

前置知识：同余式，一些简单的数论符号。

2. 详解

2.1 定义+作用

乘法逆元的定义如下：对于任意 $a \in N_+$，若存在 $a \in N_+$ 使得 $ax \equiv 1 \pmod p$，则称 $a$ 是 $x$ 在模 $p$ 意义下的数论倒数或者是乘法逆元，将 $a$ 记作 $x^{-1}$。

实际上你会发现这玩意跟实数域上的倒数定义差不多，都是相乘为 1qwq

但是需要注意的是，并不是所有 $x$ 在模 $p$ 意义下都有逆元，如果 $p \mid x$，那么 $x$ 在模 $p$ 意义下是没有逆元的，因为一定有 $ax \equiv 0 \pmod p$。

下面若无特殊说明，均认为任意数 $x$ 在模 $p$ 意义下有乘法逆元。

乘法逆元的一个很重要的作用就是做有理数域内的取模问题。

如果我们要求 $\dfrac{a}{b} \bmod p$，那么根据 $\dfrac{1}{b}=b^{-1}$，我们可以将式子变为 $a \times b^{-1} \bmod p$，这样就可以通过求出 $b^{-1}$ 来解决有理数取模问题。

乘法逆元的求法有三种：exgcd 求法，快速幂求法，线性递推式。

2.2 exgcd 求法

这个求法的前置知识：扩展欧几里得算法。

如果不知道可以看百度百科或者我写的博客。

对于同余式 $ax \equiv 1 \pmod p$，我们可以将该式转变为 $ax+py=1,x,y \in Z$。

这样就可以通过 exgcd 求出该不定方程的特解，然后就可以求出乘法逆元了。

该方法的使用范围：$\gcd(a,p)=1$。

Code：

void exgcd(int a, int b, LL &x, LL &y)
{
    if (b == 0) {x = 1; y = 0; return ;}
    exgcd(b, a % b, x, y);
    LL p = x; x = y; y = p - ((LL)a / b) * y;
}

2.3 快速幂求法

这个求法的前置知识：费马小定理。

描述如下：如果 $p \in Prime$，那么 $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$。

那么因此我们就可以考虑求逆元的时候对式子做个变形：

$$a \times a^{-1} \times a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$$

$$a \times a^{p-2} \equiv 1 \pmod p$$

因此 $a$ 的逆元是 $a^{p-2}$。

事实上这玩意你还可以用欧拉定理/扩展欧拉定理来推广，但是复杂度会升至根号级别，不如用第一种方法。

快速幂求法的使用范围：$p \in Prime$。

该方法对于确定模数为质数（如 $998244353$）的题目比较方便。

Code:

LL ksm(LL fir, LL sec, LL p)
{
    LL ans = 1 % p;
    for (; sec; sec >>= 1, fir = fir * fir % p)
        if (sec & 1) ans = ans * fir % p;
    return ans;
}

2.4 线性递推式

前置知识：无。

这个算法可以 $O(n)$ 求出 $[1.n]$ 内的所有数的乘法逆元。

首先显然的，$1^{-1}=1$。

接下来假设我们已经处理好了所有 $[1,n-1](n>1)$ 范围内的数的乘法逆元，要求 $n^{-1}$。

令 $k=\left\lfloor\dfrac{p}{n}\right\rfloor,j=p \bmod n$，那么 $p=kn+j$。

那么有 $kn+j \equiv 0 \pmod p$。

两边同时乘上 $n^{-1} \times j^{-1}$，有 $kj^{-1}+n^{-1} \equiv 0 \pmod p$。

移项，$n^{-1} \equiv -kj^{-1} \equiv -\left\lfloor\dfrac{p}{n}\right\rfloor \times (p \bmod n)^{-1}$。

由于 $p \bmod n<n$，那么我们可以知道要求 $n^{-1}$ 只需要知道所有 $[1,n-1]$ 内数的逆元。

因此原假设成立。

于是我们可以 $O(n)$ 求出 $[1,n]$ 内的数的逆元。

该算法的使用范围：任意。

注意如果 $p \mid i$ 时 $i^{-1}$ 无意义，因此特别注意这种情况。

P3811 【模板】乘法逆元

Code：

inv[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i) inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;

2.5 阶乘及其逆元

在一般的计数题中我们通常需要预处理 $1\sim n$ 的阶乘及其逆元，然后如果处理出阶乘之后每个数单独求逆元复杂度就是 $O(n\log P)$，在某些时间卡的比较紧的题目里面会过不去。

然而设 $inv_i$ 表示 $i!$ 的逆元，就有如下递推式：$inv_i=inv_{i+1}\times(i+1)$。

这样只需要做一遍快速幂/exgcd，就是 $O(n + \log P)$。

3. 总结

• 乘法逆元：对于任意 $a \in N_+$，若存在 $a \in N_+$ 使得 $ax \equiv 1 \pmod p$，则称 $a$ 是 $x$ 在模 $p$ 意义下的数论倒数或者是乘法逆元，将 $a$ 记作 $x^{-1}$。
• 三种求法：exgcd 求法，快速幂求法，线性递推式。