数学/数论专题-学习笔记：乘法逆元
1. 前言
本篇文章是作者学习乘法逆元的时候的一些学习笔记。
前置知识：同余式，一些简单的数论符号。
2. 详解
2.1 定义+作用
乘法逆元的定义如下：对于任意 \(a \in N_+\)，若存在 \(a \in N_+\) 使得 \(ax \equiv 1 \pmod p\)，则称 \(a\) 是 \(x\) 在模 \(p\) 意义下的数论倒数或者是乘法逆元，将 \(a\) 记作 \(x^{-1}\)。
实际上你会发现这玩意跟实数域上的倒数定义差不多，都是相乘为 1qwq
但是需要注意的是，并不是所有 \(x\) 在模 \(p\) 意义下都有逆元，如果 \(p \mid x\)，那么 \(x\) 在模 \(p\) 意义下是没有逆元的，因为一定有 \(ax \equiv 0 \pmod p\)。
下面若无特殊说明，均认为任意数 \(x\) 在模 \(p\) 意义下有乘法逆元。
乘法逆元的一个很重要的作用就是做有理数域内的取模问题。
如果我们要求 \(\dfrac{a}{b} \bmod p\)，那么根据 \(\dfrac{1}{b}=b^{-1}\)，我们可以将式子变为 \(a \times b^{-1} \bmod p\)，这样就可以通过求出 \(b^{-1}\) 来解决有理数取模问题。
乘法逆元的求法有三种：exgcd 求法，快速幂求法，线性递推式。
2.2 exgcd 求法
这个求法的前置知识：扩展欧几里得算法。
对于同余式 \(ax \equiv 1 \pmod p\)，我们可以将该式转变为 \(ax+py=1,x,y \in Z\)。
这样就可以通过 exgcd 求出该不定方程的特解，然后就可以求出乘法逆元了。
该方法的使用范围：\(\gcd(a,p)=1\)。
Code：
void exgcd(int a, int b, LL &x, LL &y)
{
if (b == 0) {x = 1; y = 0; return ;}
exgcd(b, a % b, x, y);
LL p = x; x = y; y = p - ((LL)a / b) * y;
}
2.3 快速幂求法
这个求法的前置知识：费马小定理。
描述如下：如果 \(p \in Prime\)，那么 \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod p\)。
那么因此我们就可以考虑求逆元的时候对式子做个变形：
因此 \(a\) 的逆元是 \(a^{p-2}\)。
事实上这玩意你还可以用欧拉定理/扩展欧拉定理来推广，但是复杂度会升至根号级别，不如用第一种方法。
快速幂求法的使用范围：\(p \in Prime\)。
该方法对于确定模数为质数（如 \(998244353\)）的题目比较方便。
Code:
LL ksm(LL fir, LL sec, LL p)
{
LL ans = 1 % p;
for (; sec; sec >>= 1, fir = fir * fir % p)
if (sec & 1) ans = ans * fir % p;
return ans;
}
2.4 线性递推式
前置知识：无。
这个算法可以 \(O(n)\) 求出 \([1.n]\) 内的所有数的乘法逆元。
首先显然的，\(1^{-1}=1\)。
接下来假设我们已经处理好了所有 \([1,n-1](n>1)\) 范围内的数的乘法逆元，要求 \(n^{-1}\)。
令 \(k=\left\lfloor\dfrac{p}{n}\right\rfloor,j=p \bmod n\)，那么 \(p=kn+j\)。
那么有 \(kn+j \equiv 0 \pmod p\)。
两边同时乘上 \(n^{-1} \times j^{-1}\)，有 \(kj^{-1}+n^{-1} \equiv 0 \pmod p\)。
移项，\(n^{-1} \equiv -kj^{-1} \equiv -\left\lfloor\dfrac{p}{n}\right\rfloor \times (p \bmod n)^{-1}\)。
由于 \(p \bmod n<n\)，那么我们可以知道要求 \(n^{-1}\) 只需要知道所有 \([1,n-1]\) 内数的逆元。
因此原假设成立。
于是我们可以 \(O(n)\) 求出 \([1,n]\) 内的数的逆元。
该算法的使用范围：任意。
注意如果 \(p \mid i\) 时 \(i^{-1}\) 无意义，因此特别注意这种情况。
Code：
inv[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i) inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;
2.5 阶乘及其逆元
在一般的计数题中我们通常需要预处理 \(1\sim n\) 的阶乘及其逆元，然后如果处理出阶乘之后每个数单独求逆元复杂度就是 \(O(n\log P)\)，在某些时间卡的比较紧的题目里面会过不去。
然而设 \(inv_i\) 表示 \(i!\) 的逆元，就有如下递推式：\(inv_i=inv_{i+1}\times(i+1)\)。
这样只需要做一遍快速幂/exgcd，就是 \(O(n + \log P)\)。
3. 总结
- 乘法逆元：对于任意 \(a \in N_+\)，若存在 \(a \in N_+\) 使得 \(ax \equiv 1 \pmod p\)，则称 \(a\) 是 \(x\) 在模 \(p\) 意义下的数论倒数或者是乘法逆元，将 \(a\) 记作 \(x^{-1}\)。
- 三种求法：exgcd 求法，快速幂求法，线性递推式。
