数学/数论专题-学习笔记：矩阵小记#2（矩阵快速幂）
1. 前言
本篇文章是作者学习矩阵时候的一些笔记。
注意作者是个 OIer，因此并不会涉及到专业的线性代数知识（或者说是极少）。
2. 矩阵快速幂
我们知道复数（或者简单点，实数）中有幂的定义：
对于 \(a \in C\)，将 \(a \times a \times ... \times a\)（共 \(n\) 个 \(a\)）记作 \(a^n\)。
因此仿照这个定义，矩阵中的幂的定义如下：
对于一个 \(k \times k\) 大小的矩阵 \(A\)，将 \(AAAA...A\)（共 \(n\) 个 \(A\)）记作 \(A^n\)。
需要注意的是 \(A\) 的行数与列数需要相同，否则不满足矩阵乘法的要求。
那么我们朴素计算 \(A^n\)，复杂度是 \(O(k^3n)\)。
考虑如何优化呢？
回想一下正整数快速幂的做法：利用结合律，将 \(a^b\) 中的 \(b\) 按二进制位拆掉做到 \(O(\log b)\) 的复杂度。
由于矩阵也满足结合律，因此我们也可以利用结合律，将指数 \(b\) 拆成二进制运算，这样就可以做到 \(O(k^3 \log b)\) 的复杂度（\(k\) 是矩阵大小）。
模板题链接：P3390 【模板】矩阵快速幂
Code：
/*
========= Plozia =========
Author:Plozia
Problem:P3390 【模板】矩阵快速幂
Date:2021/6/1
========= Plozia =========
*/
#include <bits/stdc++.h>
typedef long long LL;
const int MAXN = 100 + 10, P = 1e9 + 7;
int n;
LL k;
struct Matrix
{
LL a[MAXN][MAXN];
Matrix operator *(const Matrix &fir)
{
Matrix c; memset(c.a, 0, sizeof(c.a));
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int k = 1; k <= n; ++k)
{
int r = a[i][k];
for (int j = 1; j <= n; ++j) { c.a[i][j] += r * fir.a[k][j]; c.a[i][j] %= P; }
}
return c;
}
}a;
LL Read()
{
LL sum = 0, fh = 1; char ch = getchar();
for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) fh -= (ch == '-') << 1;
for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) sum = (sum << 3) + (sum << 1) + (ch ^ 48);
return sum * fh;
}
int Max(int fir, int sec) { return (fir > sec) ? fir : sec; }
int Min(int fir, int sec) { return (fir < sec) ? fir : sec; }
Matrix ksm(Matrix a, LL b, LL p)
{
Matrix ans;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
ans.a[i][i] = 1;
for (; b; b >>= 1, a = a * a)
if (b & 1) ans = ans * a;
return ans;
}
int main()
{
n = Read(), k = Read();
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = 1; j <= n; ++j)
a.a[i][j] = Read();
Matrix ans = ksm(a, k, P);
for (int i = 1; i <= n; ++i)
{
for (int j = 1; j <= n; ++j) printf("%lld ", ans.a[i][j]);
printf("\n");
}
return 0;
}
3. 例题
矩阵快速幂一个很重要的应用就是加速递推。
举个例子：P1962 斐波那契数列
如果采用直接递推的 \(O(n)\) 方式，将会获得 60pts 的好成绩。
那么如何得到 100pts 呢？这个时候就需要矩阵出场了。
由式子 \(F_n=F_{n-2}+F_{n-1}\)，我们可以构造矩阵 \(\begin{bmatrix}F_{n-1}&F_n\end{bmatrix}\)，则要推出的矩阵是 \(\begin{bmatrix}F_{n}&F_{n+1}\end{bmatrix}\)。
对要推出的矩阵做一个变形：\(\begin{bmatrix}0 \times F_{n-1} + 1 \times F_{n}&1 \times F_{n-1} + 1 \times F_{n}\end{bmatrix}\)。
于是我们可以构造出这样的转移矩阵：\(\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}\)。
于是 \(\begin{bmatrix}F_{n-1}&F_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}F_{n}&F_{n+1}\end{bmatrix}\)
现在已知初状态矩阵 \(\begin{bmatrix}F_1&F_2\end{bmatrix}\)，因此如果我们要求 \(F_n(n \geq 3)\) 的值，我们就可以计算下面的结果，然后取第二个元素：
发现这个可以用矩阵快速幂优化。
注意当 \(n<3\) 的时候直接输出 \(F_{n}\)。
4. 总结
- 矩阵快速幂：利用矩阵乘法的结合律减少复杂度。
- 应用：利用矩阵优化式子来加速递推。
