数论专题-学习笔记：欧拉定理与扩展欧拉定理

目录

• 1. 前言
• 2. 前置知识
• 3. 欧拉定理
  • 3.1 描述
  • 3.2 证明
• 4. 扩展欧拉定理
  • 4.1 描述
  • 4.2 证明
  • 4.3 辅助说明
  • 4.4 例题
• 5. 总结

1. 前言

欧拉定理与扩展欧拉定理，是数论中的一个很重要的定理。

该定理可以将形如 $a^b$ 的式子的指数降得很低，通常可以降到 $\log b$ 可接受范围内，这样就可以用快速幂计算了。

若无特殊说明，本文所有数都是正整数。

一些符号说明：

• $\varphi(n)$ 为欧拉函数。
• $a \equiv b \bmod c$ 表示 $a,b$ 模 $c$ 的值相等，这个式子叫做同余式。

2. 前置知识

费马小定理：若 $m$ 为质数并且 $m \nmid a$，则 $a^{m-1} \equiv 1 \bmod m$。

3. 欧拉定理

3.1 描述

欧拉定理描述如下：

若 $\gcd(a,m)=1$，则 $a^{\varphi(m)} \equiv 1 \bmod m$。

结合上面的费马小定理可以发现，费马小定理实际上就是欧拉定理的一种特殊情况。

3.2 证明

设 $x_1,x_2,...,x_{\varphi(m)}$ 为 $\varphi(m)$ 个与 $m$ 互质的数。

令 $p_i=ax_i$。

下面若无特殊说明，同余式均对 $m$ 取模。

---

引理 1：$\forall i,j \in[1,\varphi(m)],p_i \not \equiv p_j,x_i \not \equiv x_j$。

证明如下：首先因为所有 $x_i<m$，那么必然有 $x_i \not \equiv x_j$。

接下来反证法，假设 $p_i \equiv p_j$。

那么有 $p_i - p_j \equiv 0$。

则 $a(x_i-x_j) \equiv 0$。

但是 $\gcd(a,m)=1$，因此 $m \mid x_i-x_j$。但是 $x_i-x_j \not = 0$ 且小于 $m$，矛盾。

综上引理 1 成立。

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引理 2：所有 $p$ 模 $m$ 的结果都与 $m$ 互质。

证明如下：

还是反证法。

设 $p_i=ax_i=km+r$，即除以 $m$，那么有 $\gcd(r,m)>1$。

整理得 $x_i=\dfrac{km+r}{a}$。

因为 $x_i$ 是个正整数，所以 $\gcd(a,km,r)=a$。

所以 $\gcd(a,r)=a$。

然而 $\gcd(a,m)=1$，因此只有 $\gcd(a,km)=a$ 才能够做到 $\gcd(a,km,r)=a$。

所以 $k=a$。

但是因为 $p_i=ax_i$，因此就要有 $x_i=m$ 且 $r=0$，显然与假设矛盾，因此原假设错误。

综上，引理 2 成立。

---

有了这两个引理之后，我们就可以证明欧拉定理了。

由引理 2，所有 $p$ 模 $m$ 的结果都与 $m$ 互质。

由引理 1，任意两个 $p$ 之间模 $m$ 不同余，任意两个 $x$ 之间模 $m$ 不同余。

因此我们可以得到所有 $p$ 模 $m$ 的结果组成的集合与 $x$ 模 $m$ 的结果组成的集合是相同的。

因此我们就有 $\prod\limits_{i=1}^{\varphi(m)}p_i \equiv \prod\limits_{i=1}^{\varphi(m)}x_i$。

由同余式的基本性质，约去 $\prod x_i$，我们可以得到 $a^{\varphi(m)}\equiv 1$。

综上，欧拉定理成立。

4. 扩展欧拉定理

4.1 描述

扩展欧拉定理是欧拉定理的扩展，该定理将欧拉定理扩展到了 $\gcd(a,m)$ 为任意数的情况。

其描述如下（均对 $m$ 取模）：

$a^b \equiv \begin{cases}a^{b \bmod \varphi(m)}&\gcd(a,m)=1\\a^b&\gcd(a,m)\ne1,b \leq\varphi(m)\\a^{(b \bmod \varphi(m))+\varphi(m)}&\gcd(a,m)\ne1,b>\varphi(m)\end{cases}$

4.2 证明

下面同余式无说明均对 $m$ 取模。

---

$a^b \equiv a^{b \bmod \varphi(m)},\gcd(a,m)=1$。

这个还是比较简单的。

由欧拉定理，$a^{\varphi(m)} \equiv 1$，因此实际上我们两遍同时除以 $a^{\varphi(m)}$ 是可行的。

因此原式得证。

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$a^b \equiv a^b,\gcd(a,m) \ne1,b \leq \varphi(m)$。

啊不是这还需要证明吗qwq

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$a^b \equiv a^{(b \bmod \varphi(m)) + \varphi(m)},\gcd(a,m) \ne 1,b > \varphi(m)$。

首先对 $a$ 做一个质因数分解 $a=\prod_{i=1}^{k}p_i^{r_i}$。

因此根据同余式可以同乘的性质，我们的目标变成了证明 $a=p_i^{r_i}$ 时上式成立。

显然 $p_i^{r_i}$ 也是可以由 $r_i$ 个 $p_i$ 同乘的，因此我们的最终目的变成了证明当 $a$ 是个质数的时候上式成立。

接下来的证明都只考虑 $a$ 为质数。

考虑引入一个数 $s$ 与 $a$ 互质，令 $m=s \times a^c,c \leq \varphi(m)$。

• 实际上 $c \leq \varphi(m)$ 是必定成立的，因为总共与 $m$ 互质的数有 $\varphi(m)$ 个，而且$\varphi(m)=\varphi(s) \times \varphi(a^c)=\varphi(s) \times c,\varphi(s) \geq 1$，因此有 $c \leq \varphi(m)$。

根据欧拉定理，有 $a^{\varphi(s)} \equiv 1 \bmod s$。

因为 $\gcd(s,a)=1$，根据欧拉函数的下面这条性质：

• 设 $n \in N_+,p$ 为质数，那么：
  $$\varphi(n \times p)=\begin{cases}\varphi(n) \times \varphi(p)&p \nmid n\\\varphi(n) \times p&p \mid n\end{cases}$$

我们可以得到 $\varphi(s) \mid \varphi(m)$。

因此有 $a^{\varphi(m)} =a^{\varphi(s) \times \frac{\varphi(m)}{\varphi(s)}}\equiv 1 \bmod s$。

两遍同乘以 $a^c$（注意模数变成了 $m$），有 $a^{\varphi(m)+c} \equiv a^{c}$。

于是 $a^b=a^{b-c+c} =a^c \times a^{b-c}\equiv a^{\varphi(m)+b},b \geq c$。

因为任意 $c \leq \varphi(m)$ 上式都成立，因此有 $a^b \equiv a^{\varphi(m)+b}$。

上式等价于 $a^b \equiv a^{(b \bmod \varphi(m))+\varphi(m)}$。

因此我们成功的证明了 $a$ 是个质数的时候原式成立。

那么根据我们一开始的理论，可以证出原式对于任意 $a$ 都成立。

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综上，扩展欧拉定理成立。

4.3 辅助说明

扩展欧拉定理：

$a^b \equiv \begin{cases}a^{b \bmod \varphi(m)}&\gcd(a,m)=1\\a^b&\gcd(a,m)\ne1,b \leq\varphi(m)\\a^{(b \bmod \varphi(m))+\varphi(m)}&\gcd(a,m)\ne1,b>\varphi(m)\end{cases}$

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首先观察一下第一个式子和第三个式子。

我们发现实际上这两个式子对于 $b>\varphi(m)$ 的时候是等价的。

因此一般做题的时候我们不需要记第一个式子，只记第二个和第三个式子就好。

对于 $b>\varphi(m)$ 的情况刚刚已经说过第一个式子与第二个式子等价。

对于 $b \leq \varphi(m)$ 的情况因为 $a^b=a^b$ 恒成立（难道不是吗），所以第一个式子和第二个式子等价。

当然如果出现了 $\gcd(a,m)=1$ 的情况实际上我们可以直接用欧拉定理即可。

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或许有的人问了：对于第二个式子 $a^b \equiv a^b,\gcd(a,m) \ne 1,b \leq \varphi(m)$，为什么其不等价于第三个式子？

解释如下：

首先因为 $\gcd(a,m) \ne 1$，我们知道欧拉定理不成立，也就是 $a^{\varphi(m)} \not \equiv 1$。

因此对第三个式子做一个拆分：$a^b \equiv a^{b \bmod \varphi(m)} \times a^{\varphi(m)}$。

我们发现因为 $a^{\varphi(m)} \not \equiv 1$，因此我们不能在第二个式子两边同时乘以 $a^{\varphi(m)}$。

至于第三个式子可以其实是因为需要将 $b$ 拆掉，这个时候需要 $b > \varphi(m)$。

4.4 例题

例题：P5091 【模板】扩展欧拉定理

扩展欧拉定理板子题。

特别需要注意 $b \leq \varphi(m)$ 的情况，此种情况 $b$ 不能加上 $\varphi(m)$。

代码：

/*
========= Plozia =========
    Author:Plozia
    Problem:P5091 【模板】扩展欧拉定理
    Date:2021/5/19
========= Plozia =========
*/

#include <bits/stdc++.h>

typedef long long LL;
// const int MAXN = ;
LL a, b, m, phi = 1;
bool flag = 0;

LL read()
{
    LL sum = 0, fh = 1; char ch = getchar();
    for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) fh -= (ch == '-') << 1;
    for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) sum = (sum << 3) + (sum << 1) + (ch ^ 48);
    return sum * fh;
}

LL Specail_read()
{
    LL sum = 0, fh = 1; char ch = getchar();
    for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) fh -= (ch == '-') << 1;
    for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar())
    {
        sum = sum * 10ll + ch - '0';
        if (sum > phi) { sum %= phi; flag = 1; }
    }
    return sum * fh;
}

LL ksm(LL fir, LL sec, LL p)
{
    LL ans = 1 % p;
    for (; sec; sec >>= 1, fir = fir * fir % p)
        if (sec & 1) ans = ans * fir % p;
    return ans;
}

void Get_phi()
{
    int i, c = m;
    for (i = 2; i * i <= c; ++i)
    {
        int sum = 0;
        while (c % i == 0) { ++sum; c /= i; }
        if (sum != 0) phi *= (LL)(i - 1) * ksm(i, sum - 1, m);
    }
    if (c != 1) phi *= (c - 1);
}

int main()
{
    a = read(), m = read(); Get_phi();
    b = Specail_read();
    if (flag) b += phi;
    printf("%lld\n", ksm(a, b, m));
    return 0;
}

5. 总结

扩展欧拉定理：

$a^b \equiv \begin{cases}a^{b \bmod \varphi(m)}&\gcd(a,m)=1\\a^b&\gcd(a,m)\ne1,b \leq\varphi(m)\\a^{(b \bmod \varphi(m))+\varphi(m)}&\gcd(a,m)\ne1,b>\varphi(m)\end{cases}$