P3625 [APIO2009]采油区域 题解

这道题是一道很好的二位前缀和问题。

然而码量有点大。

下面规定 $n$ 表示行，$m$ 表示列，$n,m$ 同阶。

即计算复杂度的时候视 $O(nm)$ 为 $O(n^2)$。

首先预处理 $sum_{i,j}$ 表示从 $(1,1)$ 到 $(i,j)$ 的和，也就是二维前缀和，这里略过。

考虑将一个矩阵分成 3 块无非 6 种情况，如下：

上面 6 种情况又分为 2 类：

第一类是前面两种全横排与全竖排。

对于这一类情况，我们需要 $O(n^2)$ 枚举两个分割行，然后 $O(1)$ 求出答案。

因此这里引入两个辅助数组 $Line_{i,j},Col_{i,j}$。

• $Line_{i,j}$ 表示第 $i$ 行到第 $j$ 行之间的最大 $k \times k$ 子矩阵元素和。
• $Col_{i,j}$ 表示第 $i$ 列到第 $j$ 列之间的最大 $k \times k$ 子矩阵元素和。

然后考虑如何预处理出这两个数组。

下面以 $Line_{i,j}$ 为例。

首先，对于形如 $Line_{i,i+k-1}$ 的结果，由于总共只有 $k$ 行，此时我们可以枚举这 $k$ 行里面的子矩阵，至多只有 $m-k+1$ 个。

这部分复杂度是 $O(n^2)$。

然后对于任意的 $Line_{i,j}$，如果 $j-i+1<k$，说明此时行数非法，空着就好（无贡献），否则采用区间 DP 方式转移：$Line_{i,j}=\max(Line_{i+1,j},Line_{i,j-1})$。

处理完 $Line,Col$ 之后，我们就可以 $O(n^2)$ 枚举，$O(1)$ 算贡献了。

---

第二类是后面的四种情况，图我搬过来了：

细心观察上图可以发现，这一类情况的图中都有一个交点（即图中的红点）。

因此我们考虑 $O(n^2)$ 枚举这个交点。

但是这样我们依然要 $O(1)$ 算贡献。

因此我们除了前面的 $Line,Col$，还要引入一个辅助数组：

$f_{i,j,0/1/2/3}$ 表示以 $(i,j)$ 为分界点，左上/右上/左下/右下 的最大 $k \times k$ 子矩阵元素和。包括 $(i,j)$ 这个点。

也就是向下面这张图：

接下来以预处理 $f_{i,j,0}$ 为例：

还是看图。

假设右下角的点为 $(i,j)$，我们要算 $f_{i,j,0}$。

这个矩形被我分成了 3 类：

• 绿色的是 $f_{i,j-1,0}$。
• 蓝色的是 $f_{i-1,j,0}$。
• 黄色的是 $(i-k+1,j-k+1)$ 到 $(i,j)$ 这一块矩形的和。

显然答案只能是上述 3 者的最大值，于是我们可以 $O(n^2)$ 处理完 $f_{i,j,0}$。

别的同理。

综上，对于第二类情况，我们就可以 $O(n^2)$ 枚举交点，$O(1)$ 计算答案了。

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最后的时间复杂度是 $O(n^2)$。

几个小细节：

1. 注意在计算 $f_{i,j,0/1/2/3},Line_{i,j},Col_{i,j}$ 的时候是否合法的判断。
2. 在转移的时候要注意分割线不能算两次。

比如说下面这样：

此时的正确答案计算式的其中一种为 $f_{i,j,0}+f_{i,j+1,1}+Line_{i+1,n}$。

千万注意分界线不能算两次。

3. 注意 $n,m$ 不能弄错。
4. 在计算二维前缀和的时候注意不能出现左上角+右下角与左下角+右上角计算两种情况混着用。
   换句话说，假设当前矩阵左上，右上，左下，右下分别为 $(2,2),(2,4),(4,2),(4,4)$，不能出现传进去 $(4,2),(2,4)$ 并且将其当成矩形左上角与右下角 的错误。
5. 不能开 long long，否则会 MLE。
   至于答案手算一下就会发现实际上不会炸 int。

代码：

/*
========= Plozia =========
    Author:Plozia
    Problem:P3625 [APIO2009]采油区域
    Date:2021/5/14
========= Plozia =========
*/

#include <bits/stdc++.h>

typedef long long LL;
const int MAXN = 1500 + 10;
int n, m, k, a[MAXN][MAXN], sum[MAXN][MAXN], f[MAXN][MAXN][4], Line[MAXN][MAXN], Col[MAXN][MAXN];

int read()
{
    int sum = 0, fh = 1; char ch = getchar();
    for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) fh -= (ch == '-') << 1;
    for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) sum = (sum << 3) + (sum << 1) + (ch ^ 48);
    return sum * fh;
}
int Max(int fir, int sec) { return (fir > sec) ? fir : sec; }
int Min(int fir, int sec) { return (fir < sec) ? fir : sec; }
int Get(int r1, int c1, int r2, int c2)
{
    if (r1 > r2) std::swap(r1, r2); if (c1 > c2) std::swap(c1, c2);
    return sum[r2][c2] - sum[r2][c1 - 1] - sum[r1 - 1][c2] + sum[r1 - 1][c1 - 1];
}

void init()
{
    f[k][k][0] = Get(1, 1, k, k);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
        {
            if (i > k) { f[i][j][0] = Max(f[i][j][0], f[i - 1][j][0]); }
            if (j > k) { f[i][j][0] = Max(f[i][j][0], f[i][j - 1][0]); }
            if (i - k + 1 > 0 && j - k + 1 > 0) { f[i][j][0] = Max(f[i][j][0], Get(i - k + 1, j - k + 1, i, j)); }
        }
    f[k][m - k + 1][1] = Get(1, m - k + 1, k, m);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = m; j >= 1; --j)
        {
            if (i > k) { f[i][j][1] = Max(f[i][j][1], f[i - 1][j][1]); }
            if (j < m - k + 1) { f[i][j][1] = Max(f[i][j][1], f[i][j + 1][1]); }
            if (i - k + 1 > 0 && j + k - 1 <= m) { f[i][j][1] = Max(f[i][j][1], Get(i - k + 1, j, i, j + k - 1)); }
        }
    f[n - k + 1][k][2] = Get(n - k + 1, 1, n, k);
    for (int i = n; i >= 1; --i)
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
        {
            if (i < n - k + 1) { f[i][j][2] = Max(f[i][j][2], f[i + 1][j][2]); }
            if (j > k) { f[i][j][2] = Max(f[i][j][2], f[i][j - 1][2]); }
            if (i + k - 1 <= n && j - k + 1 > 0) { f[i][j][2] = Max(f[i][j][2], Get(i, j - k + 1, i + k - 1, j)); }
        }
    f[n - k + 1][m - k + 1][3] = Get(n - k + 1, m - k + 1, n, m);
    for (int i = n; i >= 1; --i)
        for (int j = m; j >= 1; --j)
        {
            if (i < n - k + 1) { f[i][j][3] = Max(f[i][j][3], f[i + 1][j][3]); }
            if (j < m - k + 1) { f[i][j][3] = Max(f[i][j][3], f[i][j + 1][3]); }
            if (i + k - 1 <= n && j + k - 1 <= m) { f[i][j][3] = Max(f[i][j][3], Get(i, j, i + k - 1, j + k - 1)); }
        }
}

int main()
{
    n = read(), m = read(), k = read();
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
            a[i][j] = read();
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
            sum[i][j] = sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1] + a[i][j];
    init();
    for (int i = 1; i + k - 1 <= n; ++i)
    {
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
        {
            if (j >= k) { Line[i][i + k - 1] = Max(Line[i][i + k - 1], Get(i, j - k + 1, i + k - 1, j)); }
            if (j + k - 1 <= m) { Line[i][i + k - 1] = Max(Line[i][i + k - 1], Get(i, j, i + k - 1, j + k - 1)); }
        }
    }
    for (int len = k + 1; len <= n; ++len)
    {
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
        {
            int j = i + len - 1; if (j > n) break ;
            Line[i][j] = Max(Line[i + 1][j], Line[i][j - 1]);
        }
    }
    for (int j = 1; j + k - 1 <= m; ++j)
    {
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
        {
            if (i >= k) { Col[j][j + k - 1] = Max(Col[j][j + k - 1], Get(i - k + 1, j, i, j + k - 1)); }
            if (i + k - 1 <= n) { Col[j][j + k - 1] = Max(Col[j][j + k - 1], Get(i, j, i + k - 1, j + k - 1)); }
        }
    }
    for (int len = k + 1; len <= m; ++len)
    {
        for (int i = 1; i <= m; ++i)
        {
            int j = i + len - 1; if (j > m) break ;
            Col[i][j] = Max(Col[i + 1][j], Col[i][j - 1]);
        }
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
        {
            ans = Max(ans, Col[1][j - 1] + f[i][j][1] + f[i + 1][j][3]);
            ans = Max(ans, Col[j + 1][m] + f[i][j][0] + f[i + 1][j][2]);
            ans = Max(ans, f[i][j][0] + f[i][j + 1][1] + Line[i + 1][n]);
            ans = Max(ans, f[i][j][2] + f[i][j + 1][3] + Line[1][i - 1]);
        }
    for (int i = k; i <= n - k + 1; ++i)
        for (int j = i + k - 1; j <= n - k + 1; ++j)
            ans = Max(ans, Line[1][i] + Line[i + 1][j - 1] + Line[j][n]);
    for (int i = k; i <= m - k + 1; ++i)
        for (int j = i + k - 1; j <= m - k + 1; ++j)
            ans = Max(ans, Col[1][i] + Col[i + 1][j - 1] + Col[j][m]);
    printf("%d\n", ans); return 0;
}