DP专题-学习笔记：斜率优化 DP

目录

• 一些 update
• 1. 前言
• 2. 详解
  • 2.1 暴力方程
  • 2.2 线性规划
  • 2.3 代码
• 3. 总结

一些 update

update 2021/4/19:最近在洛谷讨论区的学术版里面看到一篇帖子，是关于斜率相同时是否需要弹出队列的问题，笔者在看完这篇帖子之后，发现这个细节是很重要的，故加上。

update 2022/1/8:修改了一个地方的语言，不影响本篇文章的理解，但是对于一些斜率优化的题目还是有影响的。

1. 前言

斜率优化 DP，是一种优化动态规划的方式，采用线性规划的方式来优化动态规划。

斜率优化 DP 一般是拿来优化 1D/1D 的动态规划的。

什么是 1D/1D 的动态规划？

1D/1D 的动态规划就是指状态是一维，转移也是一维的动态规划。

式子一般长这样：$f_i=\min/\max\{A|j<i\}$，其中 $A$ 是关于 $j$ 的一个有特殊条件的式子。

代码一般长这样：

for (int i = 1; i <= n; ++i)
	for (int j = 0; j < i; ++j)
		f[i] = Min/Max(f[i], 某个跟 j 有关的特殊式子);

那么这个特殊条件是什么呢？

这种 DP 的转移方程分 2 类：

1. 形如 $f_i=A+B$ 的，其中 $A$ 是一个只关于 $i$ 的式子，$B$ 是一个只关于 $j$ 的式子。
   像这样的 DP，一般是可以采用单调队列/单调栈/数据结构维护的。
2. 形如 $f_i=A+B+C$ 的，其中 $A,B$ 同上，$C$ 是一个存在形如 $a_i \times b_j$ 的项的式子，比如说 $f_i=f_j+(i-j)^2$。
   这个时候，如果你将这个式子拆开就会发现，里面存在一个项 $2ij$，此时普通的单调队列就不能解决了，需要采用斜率优化。

斜率优化是基于单调队列实现的，因此请先学习单调队列。

注意本文所讨论的所有题目默认求的斜率单调递增，如果不是单调递增请采用李超线段树解决。

李超线段树实际上是更加一般的做法，复杂度是 $O(n \log v)$（$v$ 是值域注意不直接是 $a_i$ 值域），详情请见：数据结构专题-学习笔记：李超线段树

2. 详解

例题：P3628 [APIO2010]特别行动队

2.1 暴力方程

斜率优化的第一步是设计出暴力方程而且要是 1D/1D 的。

设 $f_i$ 表示从 1 到 $i$ 分段之后的最大战斗力，$s_i$ 为 $x_i$ 的前缀和数组，那么就有状态转移方程： $$f_i=\max{f_j+a(s_i-s_j)^2+b(s_i-s_j)+c|0 \leq j<i}$$

初值为 $f_0=0$，其余为 $-inf$。

这个方程应该还是很好理解的吧~

暴力得分 50pts。

我第一次写暴力的时候出了点意外得 40pts

2.2 线性规划

接下来考虑优化。

斜率优化，肯定跟斜率有关。

而斜率优化的关键步骤如下：

1. 拆式子。
2. 化成形如 $y=kx+b$ 的式子。
3. 根据求 $f_i$ 的 $\max$ 还是 $\min$ 决定维护上凸壳还是下凸壳。

什么意思呢？

考虑拆式子，拆成 $y=kx+b$，其中 $y,x$ 与 $j$ 有关，$k,b$ 与 $i$ 有关，所有常数项放到 $b$ 中。

先将原始方程拆掉：$f_i=f_j+as_i^2+as_j^2-2as_is_j+bs_i-bs_j+c$

拆掉了之后，根据上述描述，转变式子：$f_j+as_j^2-bs_j=2as_is_j+f_i-as_i^2-bs_i-c$

此时此刻 $y=f_j+as_j^2-bs_j,k=2as_i,x=s_j,b=f_i-as_i^2-bs_i-c$。

那么考虑 $y=kx+b$ 的几何意义，那么就可以看成过点 $(s_j,f_j+as_j^2-bs_j)$ 的直线，其中斜率 $(k,b)=(2as_i,f_i-as_i^2-bs_i-c)$，我们的任务是让截距 $b$ 最大化。

考虑下面这张图：

显然，对于相同的斜率 $k$，过 D 点的截距肯定比过 C 点的截距要小。

这个可以利用线性规划理解。

因此基本思路就出来了：要使截距最大化，肯定要使斜率逐渐变小（结合上图理解）；要使截距最小化，肯定要使斜率逐渐变大。

而对于前面的几个点，如果其斜率大于了 $k$，那么显然当前点比直接从 $i$ 点分割更劣，直接删掉即可。

对于后面的几个点，采用类似单调队列的方式保证斜率单调即可。

从图像上，使截距最大化就是使斜率递减，也就是维护上凸壳；使截距最小化就是使斜率递增，也就是维护下凸壳。

那么如何记转换式子呢？$y=kx+b$，$(x,y)$ 与 $j$ 有关，$(k,b)$ 与 $i$ 有关，这样记就好了。

因此，对于上面的方程，采用单调队列维护一下斜率，然后每一次取出队尾（因为此时队尾一定是最优的），这样就可以做到 $O(n)$ 解决。

关于队首与队尾的斜率相同时是否需要弹出队列的问题：

假设当前的点是这样的：

从图上可以清晰的看出来，对于 A,B,C 这三个点，其斜率全部都是相同的，而且前缀和也没有变化，貌似是可以弹出，但是看一下这条直线在这三个点上的截距 OD,OE,OF，会发现截距大小是不同的，而截距不同也会代表着 $f_i$ 不同，如果选择弹出，程序可能会选择 AD 这条线，但是正确的答案是 CF 这条线。

2.3 代码

这里给一个保证写斜率优化代码正确的小技巧：

首先写暴力方程，然后写暴力程序，确定没问题就可以直接推式子斜率优化，最后两者对拍。

当然如果暴力方程写对了一般斜率优化是不会出问题的。

代码如下：

/*
========= Plozia =========
    Author:Plozia
    Problem:P3628 [APIO2010]特别行动队
    Date:2021/4/15
========= Plozia =========
*/

#include <bits/stdc++.h>

typedef long long LL;
const int MAXN = 1e6 + 10;
int n, l, r, q[MAXN];
LL a, b, c, x[MAXN], f[MAXN];

LL read()
{
    int sum = 0, fh = 1; char ch = getchar();
    for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) fh -= (ch == '-') << 1;
    for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) sum = (sum << 3) + (sum << 1) + (ch ^ 48);
    return sum * fh;
}
LL Min(LL fir, LL sec) { return (fir < sec) ? fir : sec; }
LL Max(LL fir, LL sec) { return (fir > sec) ? fir : sec; }

double K(int i) { return 2.0 * a * x[i]; }
double X(int i) { return 1.0 * x[i]; }
double Y(int i) { return 1.0 * f[i] + a * x[i] * x[i] - b * x[i]; }
double Slope(int x, int y) { return (Y(x) - Y(y)) / (X(x) - X(y)); }

int main()
{
    n = read(), a = read(), b = read(), c = read();
    memset(f, -0x3f, sizeof(f)); f[0] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) x[i] = read() + x[i - 1];
    q[l = r = 1] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        while (l < r && Slope(q[l], q[l + 1]) >= K(i)) ++l;//队头删除
        int j = q[l]; f[i] = f[j] + a * (x[i] - x[j]) * (x[i] - x[j]) + b * (x[i] - x[j]) + c;//转移
        while (l < r && Slope(q[r], q[r - 1]) <= Slope(q[r], i)) --r;//队尾删除
        q[++r] = i;
    }
    // for (int i = 1; i <= n; ++i)
    //     for (int j = 0; j < i; ++j)
    //         f[i] = Max(f[i], f[j] + a * (x[i] - x[j]) * (x[i] - x[j]) + b * (x[i] - x[j]) + c);
    printf("%lld\n", f[n]); return 0;
}

3. 总结

• 使截距最大化维护上凸壳，使截距最小化维护下凸壳。

• 将方程转变为 $y=kx+b$，$(x,y)$ 与 $j$ 有关，$(k,b)$ 与 $i$ 有关。