P3396 哈希冲突 题解

这道题是一道根号算法题目，但是并不是分块，而是一种新科技——根号分治。

根号分治的具体思想就是：设置一个阈值 $p$，询问小于阈值的时候想办法快速计算答案，询问大于阈值的时候暴力计算答案，一般取 $p=\sqrt{n}$。

什么意思呢？拿这道题讲解一下。

这道题设置一个阈值 $p=\sqrt{n}$，表示询问时模数的阈值。

• 模数大于阈值

这个直接暴力做就可以了，设询问的池为 $x$，每一次不断加上询问的模数即可，因为此时保证模数大于阈值 $p=\sqrt{n}$，那么可以保证单次查询的复杂度在 $O(\sqrt{n})$ 里面。

• 模数小于等于阈值

这个时候就需要维护一下这一块的答案了。

设 $ans_{p,k}$ 表示模数为 $p$ 时 $k$ 池内的答案，其中 $p \in [1,\left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor]$。

那么这个显然在一开始可以 $O(\sqrt{n})$ 预处理出来。

然后询问的时候就可以 $O(1)$ 询问了。

• 修改操作

这个时候我们需要枚举模数 $p \in [1,\left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor]$，修改 $ans_{p,x \bmod p}$ 的值，最后直接更新 $a_p$ 即可。

因为 $p$ 最大上限是 $\sqrt{n}$，因此这一部分也可以在 $O(\sqrt{n})$ 的时间内完成。

代码：

/*
========= Plozia =========
    Author:Plozia
    Problem:P3396 哈希冲突
    Date:2021/4/12
========= Plozia =========
*/

#include <bits/stdc++.h>

typedef long long LL;
const int MAXN = 150000 + 10, MAXBlock = 400 + 10;
int n, m, a[MAXN], Size;
LL ans[MAXBlock][MAXBlock];

int read()
{
    int sum = 0, fh = 1; char ch = getchar();
    for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) fh -= (ch == '-') << 1;
    for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) sum = (sum << 3) + (sum << 1) + (ch ^ 48);
    return sum * fh;
}

int main()
{
    n = read(), m = read(); Size = sqrt(n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = read();
    for (int i = 1; i <= Size; ++i)
        for (int j = 1; j <= n; ++j)
            ans[i][j % i] += (LL)a[j];
    for (int i = 1; i <= m; ++i)
    {
        char ch; std::cin >> ch;
        if (ch == 'A')
        {
            int x = read(), y = read();
            if (x <= Size) printf("%lld\n", ans[x][y]);
            else
            {
                LL sum = 0;
                for (int i = y; i <= n; i += x) sum += a[i];
                printf("%lld\n", sum);
            }
        }
        else
        {
            int x = read(), y = read();
            for (int i = 1; i <= Size; ++i)
                ans[i][x % i] = ans[i][x % i] - (LL)a[x] + y;
            a[x] = y;
        }
    }
    return 0;
}