数学/数论专题-学习笔记：扩展欧几里得（exgcd）
1. 前言
扩展欧几里得（exgcd），是在欧几里得算法基础上求解任意形如 \(ax+by=c\) 的二元一次方程的一组特解的一种算法。
在往下看之前，您只需要知道如何使用欧几里得算法求 \(\gcd(a,b)\)。
不知道也没关系，式子在这里：
证明网络上面有很多，可以自行查找。
那么 \(\text{exgcd}\) 就是其扩展算法。
2. 详解
2.1 exgcd 过程
例题 1：给出 \(a,b \in N_+,d=\gcd(a,b)\)，求方程 \(ax+by=d\) 的一组整数解。
这就是 \(\text{exgcd}\) 要解决的问题。
接下来给出证明 \(ax+by=d\) 一定有整数解的证明过程，该过程同时也给出了 \(\text{exgcd}\) 的求解过程。
考虑普通 \(\gcd\) 的求解过程：\(\gcd(a,b)=\gcd(b,a \bmod b)\)。
假设我们现在已经知道了一组解 \(x',y'\) 是方程 \(bx + (a \bmod b)y=d\) 的一组特解，那么如何求出 \(ax+by=d\) 的解呢？
首先我们知道这个式子成立：$$a \bmod b=a - \left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor \times b$$
那么把上面这个式子带入到 \(bx+(a \bmod b)y=d\) 中，就有：
拆掉括号：
左边转化一下：
上述方程跟下述方程是等价的：
两者对比，得到：
于是我们成功的通过 \(bx'+(a \bmod b)y'=d\) 推出了 \(ax+by=d\) 的解。
那么为什么一定会有解呢？
考虑欧几里得算法求 \(\gcd\) 的步骤：\(\gcd(a,b)=\gcd(b,a \bmod b)\)。
仿照上述过程求 \(\text{exgcd}\)，那么初始状态是 \(a'x+b'y=d\)，其中 \(a=d,b=0\)。
因此 \(a=1,b=0\)。
然后根据上述分析不断还原，最后一定能够还原出 \(ax+by=d\) 的解。
证毕。
上述过程给出了 \(ax+by=d\) 一定有解的证明，同时阐述了为什么有解。
同时根据上述过程应该明白为什么右边是 \(\gcd(a,b)=d\) 了吧~这跟 \(\gcd\) 的求法有很大关系。
Code：
void exgcd(int a, int b, LL &x, LL &y)//注意 x 跟 y 是引用
{
if (b == 0) {x = 1; y = 0; return ;}
exgcd(b, a % b, x, y);
LL p = x; x = y; y = p - ((LL)a / b) * y;//特别注意存一下 x 的初始值
}
int main()
{
a = Read(), b = Read(); LL x, y;
exgcd(a, b, x, y); printf("%lld %lld\n", x, y);
}
2.2 一般情况
例题 2：P5656 【模板】二元一次不定方程 (exgcd)
这道题有一点恶心，主要是因为 0 不是正整数（
本题要求解决 \(ax+by=c\) 的正整数解的若干问题：判定无整数解，有无正整数解，有正整数解的情况下正整数解中 \(x,y\) 的最小最大值。
首先根据裴蜀定理，得知如果 \(\gcd(a,b)\not\mid c\) 则原方程无整数解。
否则设我们用 exgcd 求出方程 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 的一组特解为 \(x',y'\)，那么原方程的一组特解为 \(x_0=x'\times\dfrac{c}{\gcd(a,b)},y_0=y'\times\dfrac{c}{\gcd(a,b)}\)，其实就是两边同乘 \(\dfrac{c}{\gcd(a,b)}\) 使得等式右边为 \(c\)。
根据数学知识，在实数域上 \(x,y\) 的通解为：
但是要求 \(x,y\) 是整数，而为了覆盖所有符合要求的整数解则要求 \(mb,ma\) 尽量小，据此知道 \(m=k\times\dfrac{1}{\gcd(a,b)},k\in Z\) 可以使 \(ma,mb\) 尽量小，因此在整数域上 \(x,y\) 的通解为：
接下来考虑按照例题要求判断有无正整数解，显然如果 \(x\) 越小那么 \(y\) 越大，因此我们可以考虑求出 \(x\) 的最小正整数值，注意到通解形式就是不断往 \(x_0\) 上加上或减去 \(\dfrac{b}{\gcd(a,b)}\)，因此最小正整数值显然在 \([1,\dfrac{b}{\gcd(a,b)}]\) 内，因此我们直接将 \(x_0\) 对 \(\dfrac{b}{\gcd(a,b)}\) 取模即可（特别注意 \(x=0\) 的情况要化成 \(\dfrac{b}{\gcd(a,b)}\)，后面的所有取模同理，不再赘述），然后用 \(ax+by=c\) 算出 \(y\)，此时在正整数解内有 \(x\) 最小 \(y\) 最大，但若此时 \(y\) 依然不是正整数那么就是无正整数解的情况，仿照求 \(x\) 最小值求出 \(y\) 最小值即可。
剩下的情况就是有正整数解的情况了，在之前我们已经求出了 \(x\) 最小 \(y\) 最大的解，类似的求出 \(x\) 最大 \(y\) 最小的解就得到了 \(x,y\) 最小值最大值，至于解的个数，由于相邻两个正整数解 \(x_i,x_{i+1}\) 差值就是 \(\dfrac{b}{\gcd(a,b)}\)，因此解的个数就是 \(\dfrac{\max(x)-\min(x)}{\frac{b}{\gcd(a,b)}}+1\)（不理解的考虑等差数列求项数）。
写代码的时候如果要写 \(x\) 对 \(p\) 取模可以这么写：x = (x % p + p) % p，然后注意一下全部开 long long 以及 \(x,y\) 最小值不能有 0 即可。
Code：
/*
========= Plozia =========
Author:Plozia
Problem:P5656 【模板】二元一次不定方程 (exgcd)
Date:2022/10/10
========= Plozia =========
*/
#include <bits/stdc++.h>
typedef long long LL;
// const int MAXN = ;
LL a, b, c;
int Read()
{
int sum = 0, fh = 1; char ch = getchar();
for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) fh -= (ch == '-') << 1;
for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) sum = (sum << 3) + (sum << 1) + (ch ^ 48);
return sum * fh;
}
LL gcd(LL a, LL b) { return (b == 0) ? a : gcd(b, a % b); }
void exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y)
{
if (b == 0) { x = 1, y = 0; return ; }
exgcd(b, a % b, x, y); LL p = x; x = y; y = p - (a / b) * y;
}
void Solve()
{
a = Read(), b = Read(), c = Read(); LL d = gcd(a, b), x, y;
if (c % d != 0) { puts("-1"); return ; }
exgcd(a, b, x, y); x *= c / d; y *= c / d;
x = (x % (b / d) + (b / d)) % (b / d); if (x == 0) x += b / d; y = (c - a * x) / b;
if (x > 0 && y <= 0) { printf("%lld %lld\n", x, (((y = (y % (a / d) + (a / d)) % (a / d)) == 0) ? (a / d) : y)); return ; }
LL Minx = x, Maxy = y; y = (y % (a / d) + (a / d)) % (a / d); if (y == 0) y += a / d; x = (c - b * y) / a;
LL Maxx = x, Miny = y; printf("%lld %lld %lld %lld %lld\n", (Maxx - Minx) / (b / d) + 1, Minx, Miny, Maxx, Maxy);
}
int main()
{
int t = Read(); while (t--) Solve(); return 0;
}
3. 总结
exgcd 求 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 的方式：类似求 \(\gcd(a,b)\)，若 \(bx'+(a\bmod b)y'=\gcd(a,b)\) 则 \((x,y)=(y',x'-\lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor y')\)。
exgcd 求 \(ax+by=c\) 整数解的一般方式：
- \(\gcd(a,b)\not\mid c\) 则无解。
- 求出 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 的一组特解 \(x',y'\) 后，有 \(x_0=x'\times\dfrac{c}{\gcd(a,b)},y_0=y'\times\dfrac{c}{\gcd(a,b)}\)，整数解 \((x,y)\) 的通解如下：
