数学/数论专题-学习笔记：扩展欧几里得（exgcd）

1. 前言

扩展欧几里得（exgcd），是在欧几里得算法基础上求解任意形如 $ax+by=c$ 的二元一次方程的一组特解的一种算法。

在往下看之前，您只需要知道如何使用欧几里得算法求 $\gcd(a,b)$。

不知道也没关系，式子在这里：

$$\gcd(a,b)=\gcd(b, a \bmod b)$$

证明网络上面有很多，可以自行查找。

那么 $\text{exgcd}$ 就是其扩展算法。

2. 详解

2.1 exgcd 过程

例题 1：给出 $a,b \in N_+,d=\gcd(a,b)$，求方程 $ax+by=d$ 的一组整数解。

这就是 $\text{exgcd}$ 要解决的问题。

接下来给出证明 $ax+by=d$ 一定有整数解的证明过程，该过程同时也给出了 $\text{exgcd}$ 的求解过程。

考虑普通 $\gcd$ 的求解过程：$\gcd(a,b)=\gcd(b,a \bmod b)$。

假设我们现在已经知道了一组解 $x',y'$ 是方程 $bx + (a \bmod b)y=d$ 的一组特解，那么如何求出 $ax+by=d$ 的解呢？

首先我们知道这个式子成立： $$a \bmod b=a - \left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor \times b$$

那么把上面这个式子带入到 $bx+(a \bmod b)y=d$ 中，就有：

$$bx'+(a-\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor \times b)y'=d$$

拆掉括号：

$$bx' + ay' -\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor \times b \times y' = d$$

左边转化一下：

$$ay'+b(x'-\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor y')=d$$

上述方程跟下述方程是等价的：

$$ax+by=d$$

两者对比，得到：

$$\begin{cases}x=y'\\y=x'-\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor y'\end{cases}$$

于是我们成功的通过 $bx'+(a \bmod b)y'=d$ 推出了 $ax+by=d$ 的解。

那么为什么一定会有解呢？

考虑欧几里得算法求 $\gcd$ 的步骤：$\gcd(a,b)=\gcd(b,a \bmod b)$。

仿照上述过程求 $\text{exgcd}$，那么初始状态是 $a'x+b'y=d$，其中 $a=d,b=0$。

因此 $a=1,b=0$。

然后根据上述分析不断还原，最后一定能够还原出 $ax+by=d$ 的解。

证毕。

上述过程给出了 $ax+by=d$ 一定有解的证明，同时阐述了为什么有解。

同时根据上述过程应该明白为什么右边是 $\gcd(a,b)=d$ 了吧~这跟 $\gcd$ 的求法有很大关系。

Code：

void exgcd(int a, int b, LL &x, LL &y)//注意 x 跟 y 是引用
{
    if (b == 0) {x = 1; y = 0; return ;}
    exgcd(b, a % b, x, y);
    LL p = x; x = y; y = p - ((LL)a / b) * y;//特别注意存一下 x 的初始值
}

int main()
{
	a = Read(), b = Read(); LL x, y;
	exgcd(a, b, x, y); printf("%lld %lld\n", x, y);
}

---

2.2 一般情况

例题 2：P5656 【模板】二元一次不定方程 (exgcd)

这道题有一点恶心，主要是因为 0 不是正整数（

本题要求解决 $ax+by=c$ 的正整数解的若干问题：判定无整数解，有无正整数解，有正整数解的情况下正整数解中 $x,y$ 的最小最大值。

首先根据裴蜀定理，得知如果 $\gcd(a,b)\not\mid c$ 则原方程无整数解。

否则设我们用 exgcd 求出方程 $ax+by=\gcd(a,b)$ 的一组特解为 $x',y'$，那么原方程的一组特解为 $x_0=x'\times\dfrac{c}{\gcd(a,b)},y_0=y'\times\dfrac{c}{\gcd(a,b)}$，其实就是两边同乘 $\dfrac{c}{\gcd(a,b)}$ 使得等式右边为 $c$。

根据数学知识，在实数域上 $x,y$ 的通解为：

$$\begin{cases}x=x_0+mb\\y=y_0-ma\end{cases},m\in R$$

但是要求 $x,y$ 是整数，而为了覆盖所有符合要求的整数解则要求 $mb,ma$ 尽量小，据此知道 $m=k\times\dfrac{1}{\gcd(a,b)},k\in Z$ 可以使 $ma,mb$ 尽量小，因此在整数域上 $x,y$ 的通解为：

$$\begin{cases}x=x_0+k\times\dfrac{b}{\gcd(a,b)}\\y=y_0-k\times\dfrac{a}{\gcd(a,b)}\end{cases},k\in Z$$

接下来考虑按照例题要求判断有无正整数解，显然如果 $x$ 越小那么 $y$ 越大，因此我们可以考虑求出 $x$ 的最小正整数值，注意到通解形式就是不断往 $x_0$ 上加上或减去 $\dfrac{b}{\gcd(a,b)}$，因此最小正整数值显然在 $[1,\dfrac{b}{\gcd(a,b)}]$ 内，因此我们直接将 $x_0$ 对 $\dfrac{b}{\gcd(a,b)}$ 取模即可（特别注意 $x=0$ 的情况要化成 $\dfrac{b}{\gcd(a,b)}$，后面的所有取模同理，不再赘述），然后用 $ax+by=c$ 算出 $y$，此时在正整数解内有 $x$ 最小 $y$ 最大，但若此时 $y$ 依然不是正整数那么就是无正整数解的情况，仿照求 $x$ 最小值求出 $y$ 最小值即可。

剩下的情况就是有正整数解的情况了，在之前我们已经求出了 $x$ 最小 $y$ 最大的解，类似的求出 $x$ 最大 $y$ 最小的解就得到了 $x,y$ 最小值最大值，至于解的个数，由于相邻两个正整数解 $x_i,x_{i+1}$ 差值就是 $\dfrac{b}{\gcd(a,b)}$，因此解的个数就是 $\dfrac{\max(x)-\min(x)}{\frac{b}{\gcd(a,b)}}+1$（不理解的考虑等差数列求项数）。

写代码的时候如果要写 $x$ 对 $p$ 取模可以这么写：x = (x % p + p) % p，然后注意一下全部开 long long 以及 $x,y$ 最小值不能有 0 即可。

Code：

/*
========= Plozia =========
	Author:Plozia
	Problem:P5656 【模板】二元一次不定方程 (exgcd)
	Date:2022/10/10
========= Plozia =========
*/

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long LL;

// const int MAXN = ;
LL a, b, c;

int Read()
{
	int sum = 0, fh = 1; char ch = getchar();
	for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) fh -= (ch == '-') << 1;
	for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) sum = (sum << 3) + (sum << 1) + (ch ^ 48);
	return sum * fh;
}
LL gcd(LL a, LL b) { return (b == 0) ? a : gcd(b, a % b); }
void exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y)
{
	if (b == 0) { x = 1, y = 0; return ; }
	exgcd(b, a % b, x, y); LL p = x; x = y; y = p - (a / b) * y;
}

void Solve()
{
	a = Read(), b = Read(), c = Read(); LL d = gcd(a, b), x, y;
	if (c % d != 0) { puts("-1"); return ; }
	exgcd(a, b, x, y); x *= c / d; y *= c / d;
	x = (x % (b / d) + (b / d)) % (b / d); if (x == 0) x += b / d; y = (c - a * x) / b;
	if (x > 0 && y <= 0) { printf("%lld %lld\n", x, (((y = (y % (a / d) + (a / d)) % (a / d)) == 0) ? (a / d) : y)); return ; }
	LL Minx = x, Maxy = y; y = (y % (a / d) + (a / d)) % (a / d); if (y == 0) y += a / d; x = (c - b * y) / a;
	LL Maxx = x, Miny = y; printf("%lld %lld %lld %lld %lld\n", (Maxx - Minx) / (b / d) + 1, Minx, Miny, Maxx, Maxy);
}

int main()
{
	int t = Read(); while (t--) Solve(); return 0;
}

3. 总结

exgcd 求 $ax+by=\gcd(a,b)$ 的方式：类似求 $\gcd(a,b)$，若 $bx'+(a\bmod b)y'=\gcd(a,b)$ 则 $(x,y)=(y',x'-\lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor y')$。

exgcd 求 $ax+by=c$ 整数解的一般方式：

1. $\gcd(a,b)\not\mid c$ 则无解。
2. 求出 $ax+by=\gcd(a,b)$ 的一组特解 $x',y'$ 后，有 $x_0=x'\times\dfrac{c}{\gcd(a,b)},y_0=y'\times\dfrac{c}{\gcd(a,b)}$，整数解 $(x,y)$ 的通解如下：

$$\begin{cases}x=x_0+k\times\dfrac{b}{\gcd(a,b)}\\y=y_0-k\times\dfrac{a}{\gcd(a,b)}\end{cases},k\in Z$$