数学/数论专题-学习笔记：欧拉函数
一些 update
update 2021/5/20：删除了一些话语，精炼了一些语言。
update 2021/8/11：发现扩展性质 3 的证明有问题，讲解的也不清不楚，已经更正证明。
update 2021/8/12：发现基本性质 1 有误，已经更正。
update 2021/8/24：根据最近所学到的东西，添加扩展性质 4。
update 2021/12/14：更新了一下前言部分与简单性质部分，往基本性质 2 中加了一句不影响理解但有帮助的话，添加了扩展性质 2 的第二种证明，更新了摘要部分。
1. 前言
本篇博文将会重点讲解欧拉函数，数论入门级别的函数。
在此之前，您需要知道以下几个符号：
- \(d | n\) 表示 \(d\) 能整除 \(n\)，等价于 \(d\) 是 \(n\) 的因数。\(d \nmid n\) 表示 \(d\) 不能整除 \(n\)，等价于 \(d\) 不是 \(n\) 的因数。
- \(\sum_{i=1}^{n}=a_i\) 是求和符号，表示所有 \(a_i\) 的和。
- \(\prod_{i=1}^na_i\) 是求积符号，表示所有 \(a_i\) 的积。
- \([A]\) 表示当 \(A\) 成立时 \([A]=1\)，否则 \([A]=0\)，比如 \([5=1]=0\),\([6=6]=1\)。
本文默认读者学过质数及其简单性质与应用，包括但不限于分解质因数与线性筛/欧拉筛。
若无特殊说明，本文默认所有数都是正整数。
2. 前置定理
简单定理：
- \(\gcd(a+mb,b)=\gcd(a,b)\)。
- \(\gcd(a,b)=d \Leftrightarrow \gcd(\dfrac{a}{d},\dfrac{b}{d})=1\)
- 一些别的定理（比如辗转相除法之类的）
两个关键定义：
积性函数：假设一个函数满足以下条件：
那么称这个函数为积性函数。也就是说，积性函数的定义域内任取两个互质的数 \(a,b\)，必有 \(f(a \times b)=f(a) \times f(b)\)。
比如我们熟知的一次函数 \(f(x)=x\) 就是积性函数。
完全剩余系：我们知道一个数模 \(n\) 共有 \(n\) 种结果，为 \(0,1,2,...,n-1\)。
那么我们将其看成 \(n\) 类，第 \(i\) 类结果为 \(i\)，那么从每一类中取出一个数，这些数构成的集合就叫做模 \(n\) 的完全剩余系。
比如说 \(\{51,22,63,104,200\}\) 就是模 \(5\) 的一个完全剩余系，因为其模 \(5\) 的结果为 \(\{1,2,3,4,0\}\)。
一个简单的性质：假设 \(t < a\) 且 \(\gcd(t,a)=1\)，那么 \(t,2t,3t,...,(a-1)t\) 构成了模 \(a\) 的完全剩余系，且 \(\forall i \in N\),\(i+t,i+2t,i+3t,...,i+(a-1)t\) 也构成了模 \(a\) 的完全剩余系。
3. 定义
首先来讲讲欧拉函数是个啥：
定义：在数论中，记欧拉函数 \(\varphi(n)\) 表示在 \([1,n-1]\) 内几个数与 \(n\) 互质。
更加严谨的，有：\(\varphi(n)=\sum \limits_{i=1}^{n}[\gcd(i,n)=1]\)。
这就是欧拉函数。
4. 性质
强烈建议读者拿出纸笔自己写一些，可以更方便的理解。
欧拉函数的基本性质：
- 基本性质 1：若 \(p\) 为质数，那么 \(\varphi(p)=p-1\)。特别的，\(\varphi(1)=1\)。
- 基本性质 2：设 \(n = p^k\) 且 \(p\) 为质数，那么：\[\varphi(n)=n-\dfrac{n}{k}=n-p^{k-1}=p^{k-1} \times (p-1)=p^{k-1} \times \varphi(p) \]其中 \(\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^{k-1} \times (p-1)\) 用的会比较多。
- 基本性质 3：欧拉函数是积性函数。
- 基本性质 4：对于数 \(n\)，将其质因数分解为 \(\prod_{i=1}^{k}{p_i}^{r_i}\)，那么：\[\varphi(n)=\prod_{i=1}^{k}\varphi(p_i^{r_i})=\prod_{i=1}^{k}(p_i^{r_i-1} \times (p_i-1))=n \times \prod_{i=1}^{k}(1-\dfrac{1}{p_i}) \]
接下来一条一条证明。
基本性质 1：
\(p\) 为质数的时候，显然有 \([1,p-1]\) 内所有正整数都与 \(p\) 互质，那么由定义：\(\varphi(p)=p-1\)。因为 1 和 1 互质，那么 \(\varphi(1)=1\)。
基本性质 2：
引理：假设在 \([1,n]\) 范围内有一个数 \(x\) 与 \(n\) 互质，那么 \(x\) 与 \(n\) 互质的充要条件是 \(x\) 与 \(p\) 互质。引理正确性显然。
那么考虑正难则反，也就是：\(\varphi(n)=n-\sum\limits_{i=1}^{n}[gcd(i,n) \ne 1]\)。
也就是 \(n\) 减去与其不互质的数。
而要使 \(i\) 与 \(n\) 不互质，考虑到 \(p\) 是质数，那么必然有 \(i\) 与 \(p\) 不互质。
那么 \([1,n]\) 范围内有几个数与 \(p\) 不互质呢？\(\dfrac{n}{p}\) 个。
于是又因为 \(n=p^k\)，且 \(\varphi(p)=p-1\)，那么：
基本性质 3：
不妨假设 \(n=a \times b\)，其中 \(\gcd(a,b)=1\)。
那么要证明的就是 \(\varphi(n)=\varphi(a) \times \varphi(b)\)。
接下来考虑将 \(a \times b\) 个数按照矩阵铺开，也就是长这样：
\(\begin{matrix}1&2&\cdots&a-1&a\\a+1&a+2&\cdots&2a-1&2a\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\(b-1) \times a+1&(b-1) \times a+2&\cdots&b \times a - 1&b \times a\\\end{matrix}\)
那么显然的，对于每一列的数而言，这一列的所有数模 \(a\) 的结果是相同的。
那么考虑这 \(a\) 列，模 \(a\) 的结果就是 \([1,a]\)。这里为了后续方便，就将模 \(a\) 为 \(0\) 视为模 \(a\) 为 \(a\)。
考虑到 \(\gcd(x,n)=1\) 的充要条件为 \(\gcd(x,a)=1,\gcd(x,b)=1\)，而使得 \(\gcd(x,a)=1\) 的数总共有 \(\varphi(a)\) 列，因此先将这 \(\varphi(a)\) 列取出来，再做进一步的讨论。
比如我们当前取出了第 \(i\) 列，那么第 \(i\) 列的数就是 \(0a+i,1a+i,2a+i,...,(b-1)a+i\)，总共 \(b\) 个数。
于是您会发现这些数构成了模 \(b\) 的完全剩余系。
- 证明如下：不妨令 \(a>b\)。
首先显然有 \(\gcd(a,b)=1\)（否则不符合积性函数的条件），那么假设 \(a \bmod b = t\)，那么我们可以将数列转换成如下形式：\(i,i+t,i+2t,...,i+(b-1)t\)，而且必有 \(\gcd(t,b)=1\)。于是乎，这些数构成了模 \(b\) 的完全剩余系。
那么在这些数当中，有多少数满足 \(\gcd(x,b)=1\) 呢？因为是完全剩余系，所以有 \(\varphi(b)\) 个。
上面所有过程对于所有 \(\varphi(a)\) 列均成立，因此 \(\varphi(n)=\varphi(a) \times \varphi(b)\)，证毕。
基本性质 4：
考虑到欧拉函数为积性函数且 \(\forall i,j \in [1,k],\gcd(p_i^{r_i},p_j^{r_j})=1\)，那么有：\(\varphi(n)=\prod_{i=1}^{k}\varphi(p_i^{r_i})\)
记得基本性质 2 的连等式吗？通过第三个式子可以得到：\(\varphi(n)=\prod_{i=1}^{k}(p_i^{r_i-1} \times (p_i-1))\)
然后提取公因数 \(p\)，将乘积符号裂成两项，结合欧拉函数是积性函数，于是就有：
证毕。
您会发现其实基本性质 4 可以用来求 \(\varphi(n)\)。
欧拉函数的扩展性质：
- 扩展性质 1：设 \(n=a \times b,\gcd(a,b) = d \in N_+\)，那么 \(\varphi(n)=\dfrac{\varphi(a) \times \varphi(b) \times d}{\varphi(d)}\)。
- 扩展性质 2：\(\forall n \in N_+,n=\sum\limits_{d|n}{\varphi(d)}\)。
- 扩展性质 3：设 \(n \in N_+,p\) 为质数，那么：\[\varphi(n \times p)=\begin{cases}\varphi(n) \times \varphi(p)&p \nmid n\\\varphi(n) \times p&p \mid n\end{cases} \]
- 扩展性质 4：对于一个数 \(n\)（\(n \geq 2\)），所有小于 \(n\) 且与 \(n\) 互质的数的和为 \(\varphi(n) \times \dfrac{n}{2}\)。
接下来一条一条证明。
扩展性质 1：
首先先对 \(a,b,d,n\) 做个质因数分解：
然后根据基本性质 4：
对要证明的式子直接暴力带入：
结合基本性质 4 再一次转化：
左边：\(\prod_{i=1}^{m}(p_i^{r_1{_i}+r_2{_i}-1} \times (p_i-1))\)
右边：
那么拆掉乘积符号，右边分子分母先约去 \(\prod_{i=1}^{m}(p_i-1)\)，然后左右两边同时除以 \(\prod_{i=1}^{m}(p_i-1)\)，再做一个简单转化，那么要证明的式子就变成了：
证毕。
扩展性质 2：
法一：
首先众所周知，这个等式对于任意 \(n \in N_+\) 恒成立：\(n=\sum_{i=1}^{n}1\)。
但是这玩意有什么用呢？
我们对这个式子做一个变形：\(n=\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}[\gcd(n,i)=d]\)。
也就是说，我们枚举一个最大公约数 \(d\)，然后枚举 \(i \in [1,n]\)。
因为 \(\gcd(n,i)\) 的结果一定是唯一的，于是上式一定成立。
再观察。如果 \(\gcd(n,i)=d\)，那么一定有 \(d \mid n\)。
于是对这个式子再做一个变形：\(n=\sum_{d \mid n}\sum_{i=1}^{n}[gcd(n,i)=d]\)。
根据最大公约数的这个性质：\(\gcd(a,b)=d \Leftrightarrow \gcd(\dfrac{a}{d},\dfrac{b}{d})=1\)（注意前提：\(d \mid a\) 且 \(d \mid b\)），再做一次转化：
然后看一下这个：\(\sum_{i=1}^{n}([\gcd(\dfrac{n}{d},\dfrac{i}{d})=1] \times [d \mid i])\)
这个式子中的 \(i \in[1,\dfrac{n}{d}]\)。
然后您会发现这实际上就是在判断 \([1,\dfrac{n}{d}]\) 中有几个数与 \(\dfrac{n}{d}\) 互质。
这不就是 \(\varphi(\dfrac{n}{d})\) 吗？
于是等式变为 \(n=\sum_{d \mid n}\varphi(\dfrac{n}{d})=\sum_{d \mid n}\varphi(d)\)。
证毕。
法二：
设函数 \(f(n)=\sum_{d \mid n}\varphi(d)\)，要证明的就是 \(f(n)=n\)。
先证 \(f(n)\) 是个积性函数：
取 \(n,m\) 且 \(\gcd(n,m)=1\)，有：
\(f(n) \times f(m) = \sum_{i \mid n}\varphi(i)\sum_{j \mid m}\varphi(j)\)（定义暴力拆式子）
\(= \sum_{i \mid n}\sum_{j \mid m}\varphi(i) \times \varphi(j)\)（交换求和号）
\(=\sum_{i \mid n}\sum_{j \mid m}\varphi(i \times j)\)
上面这步是因为 \(\gcd(n,m)=1 \Rightarrow \gcd(i,j)=1\)，欧拉函数是积性函数所以可以放进去，下面这步也是一样的。
\(=\sum_{i \times j \mid n \times m}\varphi(i \times j)=f(nm)\)
现在 \(f(n)\) 是积性函数证完了，然后将 \(n\) 质因数分解为 \(\prod_{i=1}^{m}p_i^{k_i}\)，于是我们有 \(f(n)=\prod_{i=1}^{m}f(p_i^{k_i})\)，现在要证明的就是 \(f(p_i^{k_i})=p_i^{k_i}\)。
继续拆式子：\(f(p_i^{k_i})=\varphi(1)+\varphi(p)+...+\varphi(p_i^{k_i})\)（定义拆式子）
\(=(1-0)+(p-1)+(p^2-p)+...+(p_i^{k_i}-p_i^{k_i-1})\)（利用基本性质二 \(\varphi(p_i^{k_i})=p_i^{k_i}-p_i^{k_i-1}\)）
\(=p_i^{k_i}\)（消去同类项）
于是 \(f(p_i^{k_i})=p_i^{k_i}\)，证毕，那么也就证出了 \(f(n)=n\)。
证毕。
这个性质运用时有个专门的名字叫欧拉反演。
扩展性质 3：
首先考虑 \(p \nmid n\) 的情况。
这个时候肯定有 \(\gcd(p,n)=1\)，那么因为欧拉函数是积性函数，\(\varphi(n \times p)=\varphi(n) \times \varphi(p)\) 必然成立。
接下来考虑 \(p \mid n\) 的情况。
设 \(x \in [1,pn]\)，因为 \(p \mid n\)，那么 \(\gcd(x,pn)=1\) 的充要条件是 \(\gcd(x,n)=1\)（显然）。
因此 \(\varphi(n \times p)=\sum_{i=1}^{n \times p}[\gcd(i,n)=1]\)。
将 \([1,np]\) 内的数分为 \(p\) 类，第 \(i\) 类的数为 \([n \times i + 1,n \times (i + 1)]\)。
因为 \(\gcd(a + bn, n) = \gcd(a, n)\)，因此对于第 \(i\) 类中的第 \(j\) 个数 \(n \times i + j\) 而言，\(\gcd(n \times i + j, n) = \gcd(j,n)\)。
这样，每一类中和 \(n\) 互质的数的个数与第一类中和 \(n\) 互质的数的个数相同。
而显然第一类中和 \(n\) 互质有 \(\varphi(n)\) 个，因此总共与 \(n\) 互质的数有 \(\varphi(n) \times p\) 个。
因此 \(\varphi(n \times p) = \varphi(n) \times p\)。
证毕。
扩展性质 4：
先看两个引理：
- 引理 1：若 \(\gcd(i,n)=1\)，则 \(\gcd(n-i,n)=1\)。
- 引理 2：对于 \(n \geq 3\)，\(\varphi(n)\) 为偶数。
引理证明如下：
- 引理 1：考虑反证法。
设 \(\gcd(n-i,n)=k \neq 1\)，不妨令 \(n=a \times k,n-i=b \times k,a,b \in Z,a>b\)，那么 \(i=n-i=(a-b) \times k\)，则有 \(\gcd(i,n)=k \neq 1\)，与条件 \(\gcd(i,n)=1\) 不符，因此原假设不成立，则原命题成立。 - 引理 2：令 \(n=\prod_{i=1}^{,m}p_i^{k_i}\)，则 \(\varphi(n)=\prod_{i=1}^{m}(p_i-1) \times p_i^{k_i-1}\)。
考虑单独提出 \((p_i-1) \times p_i^{k_i-1}\)，若 \(p_i\) 为偶数则该式为偶数，若 \(p_i\) 为奇数则 \(p_i-1\) 为偶数，则该式依然是偶数，所以该式无论怎么样都是偶数。
由于一个式子是偶数，那么这些式子乘起来也当然是偶数。
根据引理 1，在所有小于 \(n\) 并且与 \(n\) 互质的数中，若 \(i\) 存在，则 \(n-i\) 存在，而这两个数加起来为 \(n\)。
接下来分类讨论一波：
- 如果 \(n=2\)，手算就可以得到答案是 1，就是 \(\varphi(2) \times \dfrac{2}{2}\)。
- 如果 \(n>2\)，根据引理 2，我们可以得知这样的 \((i,n-i)\) 类的数对有 \(\dfrac{\varphi(n)}{2}\)，乘起来得到答案是 \(\varphi(n) \times \dfrac{n}{2}\)。
于是扩展性质 4 得证。证毕。
至此，所有性质就都证明完毕了，如果还有一些性质笔者没有提到，烦请在讨论区中提出，笔者将会采纳，在此表示感谢。
5. 求法
求 \(\varphi(n)\) 有两种求法，依据分别是基本性质 4 和扩展性质 3。
- 基本性质 4：用于求单个数的欧拉函数。
根据 \(\varphi(n)=\prod_{i=1}^{k}(p_i^{r_i-1} \times (p_i-1))\)，对 \(n\) 做一个质因数分解，然后套公式就可以求了。
复杂度 \(O(\sqrt n)\)。
代码：
int ksm(int a, int b)
{
int ans = 1;
for (; b; b >>= 1, a = a * a)
if (b & 1) ans = ans * a;
return ans;
}
int Get(int n)//求单个数欧拉函数
{
int ans = 1;
for (int i = 2; i * i <= n; ++i)
{
int cnt = 0;
while (n % i == 0) {n /= i; ++cnt;}
if (cnt != 0) ans = ans * ksm(i, cnt - 1) * (i - 1);//基本性质 4
}
if (n != 1) ans = ans * (n - 1);//n^0=1
return ans;
}
- 扩展性质 3：用于快速求一连串的欧拉函数。
扩展性质 3 可以在 \(O(n)\) 的时间内求出 \([1,n]\) 内的所有欧拉函数值。
利用扩展性质 3 求欧拉函数需要用到线性筛。
先把上面这个式子搬过来：$$\varphi(n \times p)=\begin{cases}\varphi(n) \times \varphi(p)&p \nmid n\\ \varphi(n) \times p&p \mid n\end{cases}$$
考虑在筛质数的时候，假设当前已经筛出了 \(cnt\) 个质数，那么对于当前数 \(i\)，在做 \(O(n)\) 的线性筛的时候，假设当前枚举到第 \(j\) 个质数 \(p_j\)，那么如果 \(i \bmod p_j=0\)，那么就有 \(\varphi(i \times p_j) = \varphi(i) \times p_j\)，否则就有 \(\varphi(i \times p_j) = \varphi(i) \times (p_j-1)\)。
因为 \(p_j\) 是个质数，所以 \(\varphi(p_j)=p_j-1\)。
根据线性筛筛质数的正确性可知，以上过程一定正确。
代码：
vector <int> v;
void Get(int n)//求一连串欧拉函数
{
book[1] = 1; phi[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i)
{
if (!book[i]) {v.push_back(i); phi[i] = i - 1;}//特别注意质数的初始化！
for (int j = 0; j < v.size(); ++j)
{
if (i * v[j] > n) break;
book[i * v[j]] = 1;
if (i % v[j] == 0) {phi[i * v[j]] = v[j] * phi[i]; break;}//多加一步算欧拉函数
phi[i * v[j]] = phi[i] * (v[j] - 1);//多加一步算欧拉函数
}
}
//最后结果就是 phi[] 数组
}
6. 总结
欧拉函数的性质如下：
- 基本性质 1：若 \(p\) 为质数，那么 \(\varphi(p)=p-1\)。特别的，\(\varphi(1)=1\)。
- 基本性质 2：设 \(n = p^k\) 且 \(p\) 为质数，那么：\[\varphi(n)=n-\dfrac{n}{k}=n-p^{k-1}=p^{k-1} \times (p-1)=p^{k-1} \times \varphi(p) \]其中 \(\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^{k-1} \times (p-1)\) 用的会比较多。
- 基本性质 3：欧拉函数是积性函数。
- 基本性质 4：对于数 \(n\)，将其质因数分解为 \(\prod_{i=1}^{k}{p_i}^{r_i}\)，那么：\[\varphi(n)=\prod_{i=1}^{k}\varphi(p_i^{r_i})=\prod_{i=1}^{k}(p_i^{r_i-1} \times (p_i-1))=n \times \prod_{i=1}^{k}(1-\dfrac{1}{p_i}) \]
- 扩展性质 1：设 \(n=a \times b,\gcd(a,b) = d \in N_+\)，那么 \(\varphi(n)=\dfrac{\varphi(a) \times \varphi(b) \times d}{\varphi(d)}\)。
- 扩展性质 2：\(\forall n \in N_+,n=\sum\limits_{d|n}{\varphi(d)}\)。
- 扩展性质 3：设 \(n \in N_+,p\) 为质数，那么：\[\varphi(n \times p)=\begin{cases}\varphi(n) \times \varphi(p)&p \nmid n\\\varphi(n) \times p&p \mid n\end{cases} \]
- 扩展性质 4：对于一个数 \(n\)（\(n \geq 2\)），所有小于 \(n\) 且与 \(n\) 互质的数的和为 \(\varphi(n) \times \dfrac{n}{2}\)。
欧拉函数的求法如下：
- 利用基本性质 4：质因数分解后套公式即可。
- 利用扩展性质 3：在线性筛质数的时候多加一步算 \(\varphi(n)\) 即可。
练习：
- 独立写出 8 个性质及其证明过程。
- 独立写出 2 种求欧拉函数的代码。
