图论专题-网络流-学习笔记：ISAP 求解最大流

目录

• 1. 前言
• 2. 模板
  • 2.1 详解
  • 2.2 正确性证明
  • 2.3 代码
• 3. 算法对比
  • 3.1 一般数据下的对比
  • 3.2 特殊数据下的对比
• 4. 总结

1. 前言

本篇博文将会重点讲解 ISAP 求解最大流。

ISAP 求解最大流，是目前笔者知道的 除了 HLPP 之外的速度最快的最大流算法。

在学习 ISAP 求解最大流之前，您需要对以下知识有所了解，包括但不限于：网络流基础定义，FF/EK 求解最大流的 思路，dinic 求解最大流的 代码实现。

如果您对上述部分内容不熟悉，可以前往笔者所写的以下博文查看：

1. 网络流基础定义：图论专题-网络流-学习笔记：网络流基础
2. FF/EK 求解最大流的 思路：图论专题-网络流-学习笔记：EK 求解最大流
3. dinic 求解最大流的 代码实现：图论专题-网络流-学习笔记：dinic 求解最大流

2. 模板

模板题：P3376 【模板】网络最大流

2.1 详解

dinic 算法已经足够高效了，但是非常遗憾，dinic 仍然可以被卡掉，而且出现这种数据就代表 dinic 一定会 TLE，可以见最后面的数据比较。

不行，不稳定的算法我们不要，我们需要一种更加稳定的算法来处理最大流问题。

于是 ISAP 出现了。

ISAP 的核心思路就是：先用 一遍 BFS 从 $t$ 开始 分层，同时记录 $gap_i$ 数组表示当前层数为 $i$ 的点的数量，然后寻找增广路。

寻找增广路的过程中，一旦有一个点接受到的流量不能全部流出，那么就将这个点的层数提高 1，如果在提高完之后出现了断层（有一层没有点了），意味着算法结束。

大体分为 3 个步骤：

1. 分层
2. 找增广路以及提高层数
3. 出现断层则结束算法

算法好理解，但是正确性呢？

2.2 正确性证明

ISAP 的正确性证明可能需要感性理解一下。

根据上面的算法步骤，当一个点推流推完的时候，这个点的层数不提高。

为什么？因为此时这个点的层数已经足够其推流了，不需要再提高，而且根据 dinic 算法的要求，流量只能在相邻层之间移动。

那么假设当前点推流推不出去了，这个时候需要提高层数，但是为什么这样就一定正确了呢？

想一个问题：如果当前的点无法推流了，那么前面的点呢？

是不是也无法推流了呀！那么因此如果我们提高了这个点的层数，前面的点也必须要提高层数（否则无法推流），此时就能够保证至少这个点接受流量不变。

而如果后面的点有层次更高的点，就可以继续推流，存在增广路；如果没有了，都是层次比较低的点，此时满足以下几个条件：

1. 层次比较低的点推流完毕，无法再推流（即使得到 $INF$ 的流量）。
2. 由一，不存在增广路，满足算法结束条件。
3. 于此同时，由于后面的点层次比较低，又推流完毕，没法提高层次，这个时候就会 出现断层，满足算法结束条件。

综上，算法正确性成立。

而 ISAP 巧妙的地方就在于它只要做一遍 BFS，大大减少运行时间，而且因为出现断层就是算法结束，可以保证不会被层次大的构造的图卡掉（具体见后面的对比）。

同样的，ISAP 可以使用当前弧优化，参照 dinic 的当前弧优化，证明也是一样的。

2.3 代码

代码：

/*
========= Plozia =========
	Author:Plozia
	Problem:P3376 【模板】网络最大流——ISAP 写法
	Date:2021/3/19
========= Plozia =========
*/

#include <bits/stdc++.h>

typedef long long LL;
const int MAXN = 200 + 10, MAXM = 5000 + 10;
const LL INF = 0x7f7f7f7f7f7f7f7f;
int n, m, s, t, dep[MAXN], gap[MAXN], cnt_Edge = 1, Head[MAXM << 1], cur[MAXN];
struct node {int to; LL val; int Next;} Edge[MAXM << 1];
int q[MAXN], l, r;
LL ans;

int read()
{
	int sum = 0, fh = 1; char ch= getchar();
	for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) fh -= (ch == '-') << 1;
	for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) sum = (sum << 3) + (sum << 1) + (ch ^ 48);
	return (fh == 1) ? sum : -sum;
}
LL Min(LL fir, LL sec) {return (fir < sec) ? fir : sec;}
void add_Edge(int x, int y, int z) {Edge[++cnt_Edge] = (node){y, (LL)z, Head[x]}; Head[x] = cnt_Edge;}

void bfs()
{
	q[l = r = 1] = t;
	memset(dep, -1, sizeof(dep)); dep[t] = 0; ++gap[0];
	//注意这地方 dep 初始化为 0 会出现一些奇奇怪怪的问题
	while (l <= r)
	{
		int x = q[l++];
		for (int i = Head[x]; i; i = Edge[i].Next)
		{
			int u = Edge[i].to;
			if (dep[u] != -1) continue ;
			dep[u] = dep[x] + 1; q[++r] = u; ++gap[dep[u]];
		}
	}
}

LL dfs(int now, LL Flow)
{
	if (now == t) return Flow;
	LL used = 0;
	for (int i = cur[now]; i; i = Edge[i].Next)
	{
		cur[now] = i; int u = Edge[i].to;
		if (Edge[i].val && dep[now] == dep[u] + 1)//注意控制层数
		{
			LL Minn = dfs(u, Min(Edge[i].val, Flow - used));
			if (Minn)
			{
				Edge[i].val -= Minn; Edge[i ^ 1].val += Minn; used += Minn;
				if (used == Flow) return used;
			}
		}
	}
	--gap[dep[now]];//提高层数
	if (gap[dep[now]] == 0) dep[s] = n + 1;//出现断层
	++dep[now]; ++gap[dep[now]];
	return used;
}

int main()
{
	n = read(), m = read(), s = read(), t = read();
	for (int i = 1; i <= m; ++i)
	{
		int x = read(), y = read(), z = read();
		add_Edge(x, y, z); add_Edge(y, x, 0);
	}
	bfs();
	while (dep[s] <= n) {for (int i = 1; i <= n; ++i) cur[i] = Head[i]; ans += dfs(s, INF);}
	//出现断层就结束算法
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}

3. 算法对比

3.1 一般数据下的对比

一般数据的对比参照 luogu 的模板题提交结果。

• 全部采用快读
• 全部采用 STL 容器的队列（所以上面的 ISAP 代码不适用于这里的对比）
• 全部不开启 $O_2$ 优化
• dinic 和 ISAP 采用当前弧优化
• 全部不对重边进行合并处理，这样做是为了更具有可比性
• 代码长度以 Dev-C++ 数据为准
• 因为码风问题，或许笔者所测的代码长度与读者所测的代码长度差距很大，请读者谅解。
• 因为 FF 被群殴了所以没有 FF

算法	代码长度	使用时间	使用空间
EK	1.746K	605ms	892.00KB
dinic	2.071K	45ms	884.00KB
ISAP	2.078K	38ms	900.00KB

从上面的表格可以看出来：

• EK 的码量相对短一点，但是耗时太长了。
• dinic 和 ISAP 其实在这些数据下没什么差别。

其实一般的网络流题目主要考建模能力，一般不会来卡你算法时间（当然 EK 被卡掉比较普遍），但是万一出题人构造数据卡你，那么还是使用 ISAP 吧。

顺便提一下，根据目前笔者所了解，ISAP 貌似不支持费用流问题，dinic 支持，所以 dinic 还是很重要的。

当然 ISAP 实在是太难卡了（目前笔者无法构造 hack 数据）以至于没必要学 HLPP，HLPP 码量又长又容易写错，而且必须加各种玄学优化才会比 ISAP 快，普通的 HLPP 跑不过 ISAP。

3.2 特殊数据下的对比

此处的数据引用了洛谷用户 @离散小波变换° 在加强版模板 P4722 【模板】最大流 加强版 / 预留推进 题解里面给出的数据，在此表示感谢。

P.S. 笔者感觉表格里面 $n,m$ 的数据是假的，因为好像 dinic 在这种数据下根本没法在一秒里面跑完，真正的数据或许是 $n=10^4,m=3 \times 10^4$。

首先给出原文中的数据表格：

测试数据	性质 1	性质 2	性质 3	性质 4	性质 5	$n=$	$m=$
1	√	√			√	$10^5$	$3 \times 10^5$
2	√	√			√	$10^5$	$3 \times 10^5$
3	√	√				$10^5$	$3 \times 10^5$
4	√	√				$10^5$	$3 \times 10^5$
5	√		√		√	$10^5$	$3 \times 10^5$
6	√		√		√	$10^5$	$3 \times 10^5$
7	√		√			$10^5$	$3 \times 10^5$
8	√		√			$10^5$	$3 \times 10^5$
9	√				√	$10^5$	$3 \times 10^5$
10	√				√	$10^5$	$3 \times 10^5$
11	√					$10^5$	$3 \times 10^5$
12	√					$10^5$	$3 \times 10^5$
13		√			√	$10^5$	$3 \times 10^5$
14		√			√	$10^5$	$3 \times 10^5$
15		√				$10^5$	$3 \times 10^5$
16		√				$10^5$	$3 \times 10^5$
17			√		√	$10^5$	$3 \times 10^5$
18			√		√	$10^5$	$3 \times 10^5$
19			√			$10^5$	$3 \times 10^5$
20			√			$10^5$	$3 \times 10^5$
21					√	$10^5$	$3 \times 10^5$
22					√	$10^5$	$3 \times 10^5$
23						$10^5$	$3 \times 10^5$
24						$10^5$	$3 \times 10^5$

笔者备注：方便起见，原文中所有的 × 已经使用空格代替，23,24 两组数据表示数据不是特殊构造，不具有 5 种性质。

• 性质 1：不会出现环
• 性质 2：层次数量很少
• 性质 3：层次数量很大
• 性质 4：无解
• 性质 5：答案较小

笔者备注：在原文中，性质一是专门针对 FF 所设计的，也就是说 FF 只要有环就会 TLE，且没环的数据仍然消耗了极高的时间。

评测环境说明：

• 时间限制为 $60s$。
• 开启快读，$O_2$ 优化。
• dinic 和 ISAP 使用当前弧优化。
• 使用 lemon 评测机测试

最后结果如下：

测试数据	EK	dinic	ISAP
1	$0.171s$	$0.625s$	$0.265s$
2	$0.156s$	$0.562s$	$0.265s$
3	$0.625s$	$0.828s$	$0.390s$
4	$0.312s$	$0.578s$	$0.328s$
5	$0.046s$	$\color{red}{2.468s}$	$0.218s$
6	$0.078s$	$\color{red}{5.546s}$	$0.203s$
7	$0.109s$	$\color{red}{5.216s}$	$0.328s$
8	$0.218s$	$\color{red}{7.812s}$	$0.265s$
9	$0.375s$	$\color{purple}{1.281s}$	$0.375s$
10	$0.156s$	$0.781s$	$0.187s$
11	$0.046s$	$0.312s$	$0.203s$
12	$\color{red}{2.703s}$	$0.875s$	$0.328s$
13	$0.156s$	$0.703s$	$0.203s$
14	$0.328s$	$0.500s$	$0.218s$
15	$0.171s$	$0.296s$	$0.296s$
16	$0.234s$	$0.562s$	$0.296s$
17	$0.140s$	$\color{red}{4.687s}$	$0.343s$
18	$0.031s$	$\color{red}{2.921s}$	$0.296s$
19	$0.040s$	$\color{red}{2.359s}$	$0.312s$
20	$0.078s$	$\color{red}{4.656s}$	$0.390s$
21	$0.312s$	$0.500s$	$0.218s$
22	$0.203s$	$\color{purple}{1.000s}$	$0.234s$
23	$0.062s$	$0.343s$	$0.265s$
24	$0.281s$	$\color{purple}{1.015s}$	$0.328s$
总用时	$7.027s$	$46.428s$	$6.754s$

根据上表，笔者总结如下：

• dinic 在层次很深的时候会被卡掉。
• EK 玄学吊打全场，但是被 #12 卡掉了。
• ISAP 非常稳。

但是应当指出，这些数据只是在特殊构造情况下的特殊数据，并没有一般性，而一般做题时实践证明，EK 是跑不过 dinic 的。

4. 总结

ISAP 的主要思路：一遍 BFS 分层，然后利用断层巧妙寻找增广路。

到目前为止，笔者已经讲完了 EK,dinic,ISAP 求解最大流，接下来将会进入网络流的另外一个分支：费用流。

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