DP专题-学习笔记：悬线法 DP

目录

• 1. 前言
• 2. 详解
• 3. 练习题

1. 前言

悬线法 DP，是一种 DP，用来处理矩阵类问题。

这种 DP 一般处理的问题长这样：

给出一个 \(n \times m\) 的矩阵，问满足条件的最大子矩阵的面积是多少？

当然也可以问边长之类的。

这类问题通常有非悬线法 DP 的解法，但是悬线法 DP 往往能够减小思维量，减小出错率。

2. 详解

例题：P1387 最大正方形

这道题有两种方法：普通 DP 与 悬线法 DP。

普通 DP？

设 \(f_{i,j}\) 表示处理到 \(a_{i,j}\) 时的最大值，那么有转移方程：

\[f_{i,j}=\min\{f_{i-1,j},f_{i,j-1},f_{i-1,j-1}|a_{i,j}=1\}+1 \]

转移方程应该还是好想的吧。

那么普通 DP 以优秀的表现通过了这道题。

那么悬线法 DP 呢？

悬线法 DP 的一般思路就是：处理出每一个点向左（\(l_{i,j}\)），向右（\(r_{i,j}\)）能够扩展的 位置，以及向上（\(Up_{i,j}\)）能够扩展的 距离。

什么意思呢？看下面这张图。

这样做有什么用处吗？

好处就是：如果我们以 \((i,j)\) 为矩形的底边，那么这个最大子矩形实际上就已经确定了！

因为我们知道往左边能最多扩展多少，往右边最多扩展多少，往上面还能够扩展多少，如图：

那么首先我们要预处理一下 \(l,r,Up\)，递推式如下：

\[l_{i,j}=l_{i,j-1},r_{i,j}=r_{i,j+1},Up_{i,j}=Up_{i-1,j}+1 \]

转移条件：相邻两个全部都符合题意，也就是可以作为一个子矩阵。

初始值：如果 \(a_{i,j}=1\)，\(l_{i,j}=r_{i,j}=j,Up_{i,j}=1\)。

这部分的代码如下：

for (int i = 1; i <= n; ++i)
	for (int j = 1; j <= m; ++j)
		if (a[i][j] == 1) l[i][j] = r[i][j] = j, Up[i][j] = 1;//初始化
for (int i = 1; i <= n; ++i)
	for (int j = 2; j <= m; ++j)
		if (a[i][j] && a[i][j - 1]) l[i][j] = l[i][j - 1];//l
for (int i = 1; i <= n; ++i)
	for (int j = m - 1; j >= 1; --j)
		if (a[i][j] && a[i][j + 1]) r[i][j] = r[i][j + 1];//r
for (int i = 2; i <= n; ++i)
	for (int j = 1; j <= m; ++j)
		if (a[i][j] && a[i - 1][j]) Up[i][j] = Up[i - 1][j] + 1;//Up

然后如何确定最大子矩阵呢？

如果你的想法是直接用 \(l_{i,j},r_{i,j},Up_{i,j}\) 推答案，那么考虑一下下面这张图：

在上图中，真正的矩形是橙色的矩形，但是如果你直接推答案就会变成黑色的矩形，显然答案是错的。

因此我们要对 \(l,r\) 做一点修改。

考虑一下就会发现，\(l,r\) 就是从能够到达最上面的点，到这个点中原先 \(l,r\) 中的最大/最小值。

那么递推式就是这样：

\[l_{i,j}=\max\{l_{i,j},l_{i-1,j}|a_{i,j}=a_{i-1,j}=1\} \]

\[r_{i,j}=\min\{r_{i,j},r_{i-1,j}|a_{i,j}=a_{i-1,j}=1\} \]

需要注意第一行不能递推。

答案：

如果是求矩形的面积，就是 \(\max\{(r_{i,j}-l_{i,j}+1) \times Up_{i,j}|i \in [1,n],j \in [1,m]\}\)

但是因为这道题球的是正方形的边长，\(r_{i,j}-l_{i,j}+1\) 和 \(Up_{i,j}\) 取最小值即可。

这一部分的代码：

for (int i = 1; i <= n; ++i)
	for(int j = 1; j <= m; ++j)
	{
		if ((i ^ 1) && a[i][j] != 0 && a[i - 1][j] != 0)//特别注意第一行不能转移
		{
			l[i][j] = Max(l[i][j], l[i - 1][j]);
			r[i][j] = Min(r[i][j], r[i - 1][j]);
		}
		ans = Max(ans, Min(Up[i][j], r[i][j] - l[i][j] + 1));
	}

总代码：

/*
========= Plozia =========
	Author:Plozia
	Problem:P1387 最大正方形
	Date:2021/3/13
========= Plozia =========
*/

#include <bits/stdc++.h>

typedef long long LL;
const int MAXN = 100 + 10;
int n, m, a[MAXN][MAXN], l[MAXN][MAXN], r[MAXN][MAXN], Up[MAXN][MAXN], ans;

int read()
{
	int sum = 0, fh = 1; char ch = getchar();
	for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) fh -= (ch == '-') << 1;
	for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) sum = (sum << 3) + (sum << 1) + (ch ^ 48);
	return (fh == 1) ? sum : -sum;
}
int Max(int fir, int sec) {return (fir > sec) ? fir : sec;}
int Min(int fir, int sec) {return (fir < sec) ? fir : sec;}

int main()
{
	n = read(), m = read();
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		for (int j = 1; j <= m; ++j)
			a[i][j] = read();
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		for (int j = 1; j <= m; ++j)
			if (a[i][j] == 1) l[i][j] = r[i][j] = j, Up[i][j] = 1;//初始化
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		for (int j = 2; j <= m; ++j)
			if (a[i][j] && a[i][j - 1]) l[i][j] = l[i][j - 1];//l
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		for (int j = m - 1; j >= 1; --j)
			if (a[i][j] && a[i][j + 1]) r[i][j] = r[i][j + 1];//r
	for (int i = 2; i <= n; ++i)
		for (int j = 1; j <= m; ++j)
			if (a[i][j] && a[i - 1][j]) Up[i][j] = Up[i - 1][j] + 1;//Up
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		for(int j = 1; j <= m; ++j)
		{
			if ((i ^ 1) && a[i][j] != 0 && a[i - 1][j] != 0)//特别注意第一行不能转移
			{
				l[i][j] = Max(l[i][j], l[i - 1][j]);
				r[i][j] = Min(r[i][j], r[i - 1][j]);
			}
			ans = Max(ans, Min(Up[i][j], r[i][j] - l[i][j] + 1));
		}
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}

3. 练习题

练习题传送门：DP专题-专项训练：悬线法 DP