P4516 [JSOI2018]潜入行动 题解

特别提醒：本题卡空间。如果您的代码 MLE 了而且思路没有问题，请直接前往『关于卡空间』这一部分。

P.S. WA+MLE 不计入上述范围内。

思路讲解：

本题是一道树上统计类 DP。

前置知识：树形 DP。

对于这道题，首先设下两维状态 $f[u][i]$，$u$ 为节点编号，$i$ 表示用了几个监听设备。

但是状态不够啊，我们不知道是否被监听，儿子节点是否被监听等等。

于是，我们新增两维 $0/1$ 状态来表示。

那么这道题的状态如下：

设 $f[u][i][0/1][0/1]$ 表示当前节点为 $u$ ，子树中已经遍历的所有节点 上放置 $i$ 个监听装备的方案数，而且所有儿子节点均被监听，其中第三维状态表示 $u$ 节点是否放下监听设备，第四维状态表示 $u$ 节点是否被 儿子节点 监听。

分情况讨论。以下均设 1 号节点为根节点， $now$ 为当前节点，$u$ 为儿子节点，$i$ 是 $now$ 子树中已经遍历的所有节点上放置的监听装备数，$j$ 是 $u$ 子树上放置的监听装备数，$V$ 为所有 $u$ 构成的集合。这里采用刷表法转移，目标为 $f[now][i+j][0/1][0/1]$。

1. $f[now][i+j][0][0]$

这个时候需要保证 $u$ 被监听，但是 $u$ 上面不能放监听装备，有转移方程：

$$f[now][i+j][0][0]=f[now][i][0][0] \times \sum_{u \in V}f[u][j][0][1]$$

2. $f[now][i+j][0][1]$

此时 $now$ 被监听了，但是需要考虑是谁监听的：

2. 1. 可以是 $u$ 来监听，此时 $now$ 之前不能被监听，然而 $u$ 要被监听，于是这一部分贡献： $$f[now][i][0][0] \times \sum_{u \in V}f[u][j][1][1]$$
   2. 可以是别的节点来监听，此时 $u$ 放不放无所谓，然而 $u$ 要被监听，于是这一部分贡献： $$f[now][i][0][1] \times \sum_{u \in V}(f[u][j][0][1]+f[u][j][1][1])$$

综上，有转移方程：

$$f[now][i+j][0][1] = f[now][i][0][0] \times \sum_{u \in V}f[u][j][1][1] + f[now][i][0][1] \times \sum_{u \in V}(f[u][j][0][1]+f[u][j][1][1])$$

3. $f[now][i+j][1][0]$

此时 $u$ 是否被监听无所谓，但是不能放装置，有转移方程：

$$f[now][i+j][1][0]=f[now][i][1][0] \times \sum_{u \in V}(f[u][j][0][0] + f[u][j][0][1])$$

4. $f[now][i+j][1][1]$

此时仍然要根据 $now$ 是否被监听来分类讨论：

4. 1. 由 $u$ 来监听，但是因为 $now$ 放了装置，所以 $u$ 是否被监听无所谓，这一部分贡献为： $$f[now][i][1][0] \times \sum_{u \in V}(f[u][j][1][0] + f[u][j][1][1])$$
   2. 不由 $u$ 来监听，此时 $u$ 放不放无所谓，是否被监听也无所谓，这一部分贡献为： $$f[now][i][1][1] \times \sum_{u \in V}(f[u][j][0][0] + f[u][j][0][1] + f[u][j][1][0] + f[u][j][1][1])$$

综上，有转移方程：

$$f[now][i+j][1][1]=f[now][i][1][0] \times \sum_{u \in V}(f[u][j][1][0] + f[u][j][1][1])+f[now][i][1][1] \times \sum_{u \in V}(f[u][j][0][0] + f[u][j][0][1] + f[u][j][1][0] + f[u][j][1][1])$$

式子不是很长（确信

那么综合一下上面的四个方程：

$$f[now][i+j][0][0]=f[now][i][0][0] \times \sum_{u \in V}f[u][j][0][1]$$

$$f[now][i+j][0][1] = f[now][i][0][0] \times \sum_{u \in V}f[u][j][1][1] + f[now][i][0][1] \times \sum_{u \in V}(f[u][j][0][1]+f[u][j][1][1])$$

$$f[now][i+j][1][0]=f[now][i][1][0] \times \sum_{u \in V}(f[u][j][0][0] + f[u][j][0][1])$$

$$f[now][i+j][1][1]=f[now][i][1][0] \times \sum_{u \in V}(f[u][j][1][0] + f[u][j][1][1])+f[now][i][1][1] \times \sum_{u \in V}(f[u][j][0][0] + f[u][j][0][1] + f[u][j][1][0] + f[u][j][1][1])$$

初始状态为对于任意点 $now$，$f[now][0][0][0]=f[now][1][1][0]$。

最后答案是 $f[1][k][0][1]+f[1][k][1][1]$。

所有过程注意随时取模。

一些注意点：

1. 随时取模。
2. 转移的时候需要注意对于当前节点 $now$，我们需要临时数组 $tmp[i][0/1][0/1]$ 来存下当前节点的状态，防止因为修改而导致的 WA。具体可以参考我的代码。
3. 记得记录子树的大小，因为可能存在 $size_{now}<k$ 的情况，此时我们至多只能放 $size_{now}$ 个。

关于卡空间

这道题很毒瘤，我一开始开 long long 被卡空间了，最后看的题解才知道为什么会 MLE。

这道题需要注意：

1. 所有变量全部开 int 类型，尤其是 f 和 tmp 数组。
2. 运算的时候需要强制转换类型，同时取模。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define Min(a, b) ((a < b) ? a : b)
using namespace std;

typedef long long LL;
const int MAXN = 1e5 + 10, P = 1e9 + 7, MAXK = 100 + 10;
int n, k, f[MAXN][MAXK][2][2], tmp[MAXK][2][2], size[MAXN];
vector <int> Next[MAXN];

int read()
{
	int sum = 0, fh = 1; char ch = getchar();
	for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) fh -= (ch == '-') << 1;
	for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) sum = (sum << 3) + (sum << 1) + (ch ^ 48);
	return (fh == 1) ? sum : -sum;
}

void dfs(int now, int fa)
{
	size[now] = f[now][0][0][0] = f[now][1][1][0] = 1;
	for (int v = 0; v < Next[now].size(); ++v)
	{
		int u = Next[now][v];
		if (u == fa) continue;
		dfs(u, now);
		for (int i = 0; i <= k; ++i)
		{
			tmp[i][0][0] = f[now][i][0][0]; f[now][i][0][0] = 0;
			tmp[i][0][1] = f[now][i][0][1]; f[now][i][0][1] = 0;
			tmp[i][1][0] = f[now][i][1][0]; f[now][i][1][0] = 0;
			tmp[i][1][1] = f[now][i][1][1]; f[now][i][1][1] = 0;
		}
		for (int i = 0; i <= Min(size[now], k); ++i)
			for (int j = 0; j <= Min(size[u], k - i); ++j)
			{
				f[now][i + j][0][0] = ((LL)f[now][i + j][0][0] + (LL)tmp[i][0][0] * f[u][j][0][1]) % P;
				f[now][i + j][0][1] = ((LL)f[now][i + j][0][1] + (LL)tmp[i][0][0] * f[u][j][1][1] % P + (LL)tmp[i][0][1] * ((LL)f[u][j][0][1] + f[u][j][1][1]) % P) % P;
				f[now][i + j][1][0] = ((LL)f[now][i + j][1][0] + (LL)tmp[i][1][0] * ((LL)f[u][j][0][1] + f[u][j][0][0]) % P) % P;
				f[now][i + j][1][1] = ((LL)f[now][i + j][1][1] + (LL)tmp[i][1][0] * ((LL)f[u][j][1][0] + f[u][j][1][1]) % P + (LL)tmp[i][1][1] * ((LL)f[u][j][0][0] + f[u][j][0][1] + f[u][j][1][0] + f[u][j][1][1]) % P) % P;
			}
		size[now] += size[u];
	}
}

int main()
{
	n = read(), k = read();
	for (int i = 1; i < n; ++i)
	{
		int x = read(), y = read();
		Next[x].push_back(y); Next[y].push_back(x);
	}
	dfs(1, 1);
	printf("%d\n", ((LL)f[1][k][0][1] + f[1][k][1][1]) % P);
	return 0;
}