DP专题-学习笔记：树形 DP
1. 前言
树形 DP，是一种 DP （废话），专门用于树上的 DP。
这类 DP 因为其板子好记，标记显眼而十分易懂。
而且树形 DP 长得就不像 DP，更像暴力搜索。
2. 详解
题目实际上就是给出一棵有 \(n\) 个点的树，选出一些点，使得这些点两两不相邻，求最大点权和。
这就是树形 DP 的板子题。
首先先把树存下来。
前言里面说过：树形 DP 更像一种暴力搜索，于是我们需要对这棵树做一遍 dfs，边 dfs 边 DP。
考虑到树形 DP 是一种 DP （难道不是吗），所以我们仍然需要 DP 的基本套路：设状态，推转移方程，推初值，求答案。
以下的所有讨论都假设已经确定树的形态以及根。
设 \(f_{k,0/1}\) 表示节点 \(k\) 以及其子树选出点的最大权值和。\(0\) 表示节点 \(k\) 不放，\(1\) 表示节点 \(k\) 放。
那么作为树形 DP，很重要的一点就是：父节点的 \(f\) 的计算是与子节点有关系的。
因此对于这道题，我们的状态转移方程如下：
\[f_{k,0}=\max\{f_{u,0},f_{u,1} | u \in V\}
\]
\[f_{k,1}=r_k+\max\{f_{u,0} | u \in V\}
\]
其中 \(V\) 为 \(k\) 的儿子组成的集合。
如果这个点不选，那么儿子可选可不选；但是如果选了，那么儿子不能选。
注意：选出的点集 \(U=\varnothing\) 也是可以的，因此可能答案为 \(0\)。
最后的答案为 \(f_{root,0/1}\) 中的最大值。
代码：
#include <bits/stdc++.h>
#define Max(a, b) ((a > b) ? a : b)
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 6e3 + 10;
int n, r[MAXN], f[MAXN][2], root;
vector <int> Next[MAXN];
bool book[MAXN];
int read()
{
int sum = 0, fh = 1; char ch = getchar();
for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) fh -= (ch == '-') << 1;
for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) sum = (sum << 3) + (sum << 1) + (ch ^ 48);
return sum * fh;
}
void dfs(int now, int fa)
{
f[now][0] = 0, f[now][1] = r[now];
for (int i = 0; i < Next[now].size(); ++i)
{
int u = Next[now][i];
if (u == fa) continue;
dfs(u, now);
f[now][0] = Max(f[now][0], Max(f[now][0] + f[u][0], f[now][0] + f[u][1]));
f[now][1] = Max(f[now][1], f[now][1] + f[u][0]);
}
}
int main()
{
n = read();
for (int i = 1; i <= n; ++i) r[i] = read();
for (int i = 1; i < n; ++i)
{
int x = read(), y = read(); book[x] = 1;
Next[y].push_back(x); Next[x].push_back(y);
}
for (int i = 1; i <= n; ++i)
if (!book[i]) {root = i; break;}
dfs(root, root);
printf("%d\n", Max(f[root][0], f[root][1]));
return 0;
}
这里提供一种树形 DP 的板子，但是不能保证这个板子能够通过所有题目。
int f[...];
void dfs(int now, int fa...)
{
/*设置初值*/
for (/*遍历儿子*/)
{
int u = /*儿子*/;
if (u == fa) continue;//注意不能返回父亲节点
dfs(u, now...);
/*转移*/
}
}
3. 练习题
练习题传送门：DP专题-专项训练：树形 DP
