DP专题-学习笔记：数位 DP
一些 update
update 2021/2/23：最近作者发现数位 DP 的 \(f\) 数组初始化有问题，导致代码出现了根本性错误（原理不变），现在已经纠正，对各位读者造成的困扰深表歉意。
1. 概述
数位 DP，是一种 DP （废话），专门用于数字统计类问题。
这种问题首次接触可能会有些难理解，但是练过几道题之后就会掌握套路了。
2. 例题
这是数位 DP 的基础题，我个人认为比别的题目更好入门。
2.1 表达形式
数位 DP 的题目通常都是这样表达的：
问：在 \([l,r]\) 范围内，满足条件 \(P(x)\) 的数 \(x\) 有几个？
比如例题：
问：在 \([a,b]\) 范围内，满足条件 \(相邻数之差大于等于2\) 的数 \(x\) 有几个？
2.2 修改问题
数位 DP 的问题一般都满足 区间可减性。
比如说例题，无论 \(a,b\) 怎么变，Windy 数始终是 Windy 数，非 Windy 数始终是非 Windy 数。
于是乎，我们就可以使用差分将询问变为 \(f(b)-f(a-1)\)。
其中 \(f(x)\) 表示在 \([1,x]\) 内有几个满足条件的数。
代码里面需要特别对 \(a=0\) 特判！
2.3 设计 DP
既然是数位 DP，那么肯定跟数位有关。
那么首先我们要拆分数字。假设拆分在 \(a\) 数字里面，\(a_i\) 表示 从低到高第 \(i\) 位（这是为了与代码匹配）。\(cnt\) 为位数。
数位 DP 有两种写法：记忆化搜索与直接递推。
记忆化搜索便于理解，直接递推代码简洁。
本文章采用记忆化搜索讲解。
首先设计 DFS 函数：(LL 即为 long long)
LL dfs(int pos, int las, ..., int zero, int limit)
pos 表示当前搜到第几位，las 表示上一位数字是什么（Windy 数需要上一位数字），zero 表示是否为前导 0，limit 表示这一位有没有最高位限制。
... 是表示有的题目可能需要一些别的。
先撇下 zero 和 limit 不管，我们继续设计 DFS 函数。
那么搜索思路显然：我们只需要枚举第 pos 位上的数字，满足题目要求就继续往下搜，而采用 \(f[pos][las]\) 来记忆化。
那么这个 zero 和 limit 呢？
zero 是前导零，limit 表示限制。
因为前导零是不计入数字限制，所以特别要注意前导零不能对数字统计造成干扰，于是我们需要注意前导零的限制，在记忆化搜索的时候对于有前导零限制的数我们不能记忆化。
limit 表示限制，这个限制是干什么用的呢？
考虑以下数据：
0-47382，现在已经填了 473??
那么第四位我们要怎么枚举呢？
如果我们直接枚举 0-9，那么在枚举到 9 的时候就会发现：4739? 这个数字不在范围内。于是我们需要引入 limit 做出限制。
怎么处理？
2.4 特别处理
首先看 zero 的处理。
zero 的判定条件：当上一位 zero 为真且当前位为 0 时，接下来的 zero 为真。
解释：
上一位 zero 为真表示前面所有位都是 0，而这一位也是 0，于是乎数字为 00..0??...?，那么 zero 接下来为真，告诉后面的数字这一位的 0 是前导零。
再看 limit 的处理。
limit 的判定条件：当上一位 limit 为真且当前位为最高位时，接下来的 limit 为真。
解释：
上一位 limit 为真表示前面都是最高位，这一位也是最高位，于是乎从最前面到这一位都是最高位，那么 limit 接下来为真，告诉后面的数字这一位是最高位。
需要特别注意的是，当 zero=0 或 limit=0 的时候不能记忆化！（当然你可以加两个状态表示 zero 和 limit，这样可以）
2.5 书写代码
在搜索时我们按照一般的搜索套路，特别注意对 zero 和 limit 的处理。
这里先简单画一下流程图。以例题为例。
这是本人第一次使用 Markdown 画流程图，如果画的不好请各位大佬海涵，有更好的建议请在评论区提出或者私信提出，本人将会采纳，表示感谢！
那么有了这个流程图，代码应该很好写了。
代码如下：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
int l, r, f[20][10], a[20], cnt;
int read()
{
int sum = 0, fh = 1; char ch = getchar();
while (ch < '0' || ch > '9') {if (ch == '-') fh = -1; ch = getchar();}
while (ch >= '0' && ch <= '9') {sum = (sum << 3) + (sum << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
return sum * fh;
}
int Abs(int x) {return (x < 0) ? -x : x;}
int dfs(int pos, int las, int zero, int limit)
{
if (pos == 0) return 1;
if (!zero && !limit && f[pos][las] != -1) return f[pos][las];
int t = limit ? a[pos] : 9, ans = 0;
for (int i = 0; i <= t; ++i)
{
if (zero && i == 0) ans += dfs(pos - 1, -2, zero, i == a[pos] && limit);
else if (Abs(i - las) >= 2) ans += dfs(pos - 1, i, 0, i == a[pos] && limit);
}
if (!zero && !limit) f[pos][las] = ans;
return ans;
}
int Get(int k)
{
cnt = 0; memset(a, 0, sizeof(a));
memset(f, -1, sizeof(f));
while (k) {a[++cnt] = k % 10; k /= 10;}
return dfs(cnt, -2, 1, 1);
}
int main()
{
l = read(), r = read();
printf("%d\n", Get(r) - Get(l - 1));
return 0;
}
这里再放一个万能板子，供大家参考：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//sth.
int read()
{
int sum = 0, fh = 1; char ch = getchar();
while (ch < '0' || ch > '9') {if (ch == '-') fh = -1; ch = getchar();}
while (ch >= '0' && ch <= '9') {sum = (sum << 3) + (sum << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
return sum * fh;
}
int dfs(int pos, ..., int zero, int limit)
{
if (pos == 0) return 1;
if (!zero && !limit && f[...] != -1) return f[...];
int t = limit ? a[pos] : 9, ans = 0;
for (int i = 0; i <= t; ++i)
{
if (zero && i == 0) ans += dfs(pos - 1, ..., zero, i == a[pos] && limit);
else if (由题目条件决定) ans += dfs(pos - 1, ..., 0, i == a[pos] && limit);
//else ...
}
if (!zero && !limit) f[...] = ans;
return ans;
}
int Get(int k)
{
cnt = 0; memset(a, 0, sizeof(a));
memset(f, -1, sizeof(f));
while (k) {a[++cnt] = k % 10; k /= 10;}
return dfs(cnt, ..., 1, 1);
}
int main()
{
l = read(), r = read();
if (l != 0) printf("%d\n", Get(r) - Get(l - 1));
else printf("%d\n", Get(r));
return 0;
}
这里对代码做一个统一说明与解释：
- 例题代码的
-2是为什么？
处理方便，不需要特判。 - 注意板子里面要特判一下
l!=0。
这里再给一个板子，这个板子是将 zero 和 limit 也加入记忆化的状态里面的。
int f[...][2][2];
int dfs(int pos, ..., int zero, int limit)
{
if (pos == 0) return 1;
if (f[...][zero][limit] != -1) return f[...][zero][limit];
int t = limit ? a[pos] : 9, ans = 0;
for (int i = 0; i <= t; ++i)
{
if (zero && i == 0) ans += dfs(pos - 1, ..., zero, i == a[pos] && limit);
else if (由题目条件决定) ans += dfs(pos - 1, ..., 0, i == a[pos] && limit);
//else ...
}
f[...][zero][limit] = ans;
return ans;
}
3. 练习题
练习题传送门：DP专题-专项训练：概率/期望 DP + 数位 DP
