DP专题-学习笔记：数位 DP

目录

• 一些 update
• 1. 概述
• 2. 例题
  • 2.1 表达形式
  • 2.2 修改问题
  • 2.3 设计 DP
  • 2.4 特别处理
  • 2.5 书写代码
• 3. 练习题

一些 update

update 2021/2/23：最近作者发现数位 DP 的 $f$ 数组初始化有问题，导致代码出现了根本性错误（原理不变），现在已经纠正，对各位读者造成的困扰深表歉意。

1. 概述

数位 DP，是一种 DP （废话），专门用于数字统计类问题。

这种问题首次接触可能会有些难理解，但是练过几道题之后就会掌握套路了。

2. 例题

[SCOI2009] windy 数

这是数位 DP 的基础题，我个人认为比别的题目更好入门。

2.1 表达形式

数位 DP 的题目通常都是这样表达的：

问：在 $[l,r]$ 范围内，满足条件 $P(x)$ 的数 $x$ 有几个？

比如例题：

问：在 $[a,b]$ 范围内，满足条件 $相邻数之差大于等于2$ 的数 $x$ 有几个？

2.2 修改问题

数位 DP 的问题一般都满足 区间可减性。

比如说例题，无论 $a,b$ 怎么变，Windy 数始终是 Windy 数，非 Windy 数始终是非 Windy 数。

于是乎，我们就可以使用差分将询问变为 $f(b)-f(a-1)$。

其中 $f(x)$ 表示在 $[1,x]$ 内有几个满足条件的数。

代码里面需要特别对 $a=0$ 特判！

2.3 设计 DP

既然是数位 DP，那么肯定跟数位有关。

那么首先我们要拆分数字。假设拆分在 $a$ 数字里面，$a_i$ 表示 从低到高第 $i$ 位（这是为了与代码匹配）。$cnt$ 为位数。

数位 DP 有两种写法：记忆化搜索与直接递推。

记忆化搜索便于理解，直接递推代码简洁。

本文章采用记忆化搜索讲解。

首先设计 DFS 函数：(LL 即为 long long)

LL dfs(int pos, int las, ..., int zero, int limit)

pos 表示当前搜到第几位，las 表示上一位数字是什么（Windy 数需要上一位数字），zero 表示是否为前导 0，limit 表示这一位有没有最高位限制。

... 是表示有的题目可能需要一些别的。

先撇下 zero 和 limit 不管，我们继续设计 DFS 函数。

那么搜索思路显然：我们只需要枚举第 pos 位上的数字，满足题目要求就继续往下搜，而采用 $f[pos][las]$ 来记忆化。

那么这个 zero 和 limit 呢？

zero 是前导零，limit 表示限制。

因为前导零是不计入数字限制，所以特别要注意前导零不能对数字统计造成干扰，于是我们需要注意前导零的限制，在记忆化搜索的时候对于有前导零限制的数我们不能记忆化。

limit 表示限制，这个限制是干什么用的呢？

考虑以下数据：

0-47382，现在已经填了 473??

那么第四位我们要怎么枚举呢？

如果我们直接枚举 0-9，那么在枚举到 9 的时候就会发现：4739? 这个数字不在范围内。于是我们需要引入 limit 做出限制。

怎么处理？

2.4 特别处理

首先看 zero 的处理。

zero 的判定条件：当上一位 zero 为真且当前位为 0 时，接下来的 zero 为真。

解释：

上一位 zero 为真表示前面所有位都是 0，而这一位也是 0，于是乎数字为 00..0??...?，那么 zero 接下来为真，告诉后面的数字这一位的 0 是前导零。

再看 limit 的处理。

limit 的判定条件：当上一位 limit 为真且当前位为最高位时，接下来的 limit 为真。

解释：

上一位 limit 为真表示前面都是最高位，这一位也是最高位，于是乎从最前面到这一位都是最高位，那么 limit 接下来为真，告诉后面的数字这一位是最高位。

需要特别注意的是，当 zero=0 或 limit=0 的时候不能记忆化！（当然你可以加两个状态表示 zero 和 limit，这样可以）

2.5 书写代码

在搜索时我们按照一般的搜索套路，特别注意对 zero 和 limit 的处理。

这里先简单画一下流程图。以例题为例。

这是本人第一次使用 Markdown 画流程图，如果画的不好请各位大佬海涵，有更好的建议请在评论区提出或者私信提出，本人将会采纳，表示感谢！

那么有了这个流程图，代码应该很好写了。

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
int l, r, f[20][10], a[20], cnt;

int read()
{
	int sum = 0, fh = 1; char ch = getchar();
	while (ch < '0' || ch > '9') {if (ch == '-') fh = -1; ch = getchar();}
	while (ch >= '0' && ch <= '9') {sum = (sum << 3) + (sum << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
	return sum * fh;
}
int Abs(int x) {return (x < 0) ? -x : x;}

int dfs(int pos, int las, int zero, int limit)
{
	if (pos == 0) return 1;
	if (!zero && !limit && f[pos][las] != -1) return f[pos][las];
	int t = limit ? a[pos] : 9, ans = 0;
	for (int i = 0; i <= t; ++i)
	{
		if (zero && i == 0) ans += dfs(pos - 1, -2, zero, i == a[pos] && limit);
		else if (Abs(i - las) >= 2) ans += dfs(pos - 1, i, 0, i == a[pos] && limit);
	}
	if (!zero && !limit) f[pos][las] = ans;
	return ans;
}

int Get(int k)
{
	cnt = 0; memset(a, 0, sizeof(a));
	memset(f, -1, sizeof(f));
	while (k) {a[++cnt] = k % 10; k /= 10;}
	return dfs(cnt, -2, 1, 1);
}

int main()
{
	l = read(), r = read();
	printf("%d\n", Get(r) - Get(l - 1));
	return 0;
}

这里再放一个万能板子，供大家参考：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//sth.

int read()
{
	int sum = 0, fh = 1; char ch = getchar();
	while (ch < '0' || ch > '9') {if (ch == '-') fh = -1; ch = getchar();}
	while (ch >= '0' && ch <= '9') {sum = (sum << 3) + (sum << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
	return sum * fh;
}

int dfs(int pos, ..., int zero, int limit)
{
	if (pos == 0) return 1;
	if (!zero && !limit && f[...] != -1) return f[...];
	int t = limit ? a[pos] : 9, ans = 0;
	for (int i = 0; i <= t; ++i)
	{
		if (zero && i == 0) ans += dfs(pos - 1, ..., zero, i == a[pos] && limit);
		else if (由题目条件决定) ans += dfs(pos - 1, ..., 0, i == a[pos] && limit);
		//else ...
	}
	if (!zero && !limit) f[...] = ans;
	return ans;
}

int Get(int k)
{
	cnt = 0; memset(a, 0, sizeof(a));
	memset(f, -1, sizeof(f));
	while (k) {a[++cnt] = k % 10; k /= 10;}
	return dfs(cnt, ..., 1, 1);
}

int main()
{
	l = read(), r = read();
	if (l != 0) printf("%d\n", Get(r) - Get(l - 1));
	else printf("%d\n", Get(r));
	return 0;
}

这里对代码做一个统一说明与解释：

1. 例题代码的 -2 是为什么？
   处理方便，不需要特判。
2. 注意板子里面要特判一下 l!=0。

这里再给一个板子，这个板子是将 zero 和 limit 也加入记忆化的状态里面的。

int f[...][2][2];

int dfs(int pos, ..., int zero, int limit)
{
	if (pos == 0) return 1;
	if (f[...][zero][limit] != -1) return f[...][zero][limit];
	int t = limit ? a[pos] : 9, ans = 0;
	for (int i = 0; i <= t; ++i)
	{
		if (zero && i == 0) ans += dfs(pos - 1, ..., zero, i == a[pos] && limit);
		else if (由题目条件决定) ans += dfs(pos - 1, ..., 0, i == a[pos] && limit);
		//else ...
	}
	f[...][zero][limit] = ans;
	return ans;
}

3. 练习题

练习题传送门：DP专题-专项训练：概率/期望 DP + 数位 DP