数学/数论专题-学习笔记：康托展开

目录

• 1.概述
• 2.实现

1.概述

康托展开，是全排列问题中常用的一种算法。

康托展开：已知一个 \(n\) 阶全排列 \(a\)，求出这是第几个全排列（按照字典序排序）。

2.实现

例题

康托展开的公式：\(a_1 \times (n - 1)! + a_2 \times (n - 2)! +...+ a_{n - 1} \times 1! + a_n \times 0! + 1\)。本博客中约定：\(0! = 0\)。

上式中，\(a_i\) 表示比 \(a_i\) 小并且不在 \(i\) 位置前面的数的个数。

那么我们以 5 2 3 1 4 为例，模拟康托展开的步骤。

1. 比 5 小的数有四个，其中有 0 个在前面，因此 \(a_1 = 4\)。这 4 个数能够产生 \(4 \times 4!\) 个全排列。
2. 比 2 小的数有一个，其中有 0 个在前面，因此 \(a_2 = 1\)。考虑到第 1 个数已经确定，那么剩下这个数能够产生 \(1 \times 3!\) 个全排列。
3. （此处省略若干字）
4. 最后的结果为 \(4 \times 4! + 1 \times 3! + 1 \times 2! + 0 \times 1! + 0 \times 0! + 1 = 105\)

为什么这么做？

比如第一位，我们可以发现：对于 1 2 3 4 这四个数而言，我们需要计算 5 不在第一位的全排列。根据排列组合的知识，结果为 \(4 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 4 \times 4!\)。其余同理。

那么代码呢？其实还是比较好写的。

计算 \(a_i\) 我们可以使用权值线段树、set 等来解决。

当然我用的是 FHQ Treap，结果被卡常了。

用 FHQ Treap 的原因是我最近在学 FHQ Treap 所以用这个，其实权值线段树或 set 或树状数组会更简洁。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int MAXN = 1e6 + 10, P = 998244353;
int n, a[MAXN], cnt, root;
LL ans, f[MAXN];

struct node
{
	int l, r, size, val, key;
}tree[MAXN];

int read()
{
	int sum = 0, fh = 1; char ch = getchar();
	while (ch < '0' || ch > '9') {if (ch == '-') fh = -1; ch = getchar();}
	while (ch >= '0' && ch <= '9') {sum = (sum << 3) + (sum << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
	return sum * fh;
}

int Make_Node(int val)
{
	int now = ++cnt;
	tree[now].size = 1;
	tree[now].val = val;
	return now;
}

void update(int x) {tree[x].size = tree[tree[x].l].size + tree[tree[x].r].size + 1;}

void split(int now, int val, int &x, int &y)
{
	if (now == 0) x = y = 0;
	else
	{
		if (tree[now].val <= val)
		{
			x = now;
			split(tree[now].r, val, tree[now].r, y);
		}
		else
		{
			y = now;
			split(tree[now].l, val, x, tree[now].l);
		}
		update(now);
	}
}

int merge(int x, int y)
{
	if (!x || !y) return x + y;
	if (rand() & 1)
	{
		tree[x].r = merge(tree[x].r, y);
		update(x); return x;
	}
	else
	{
		tree[y].l = merge(x, tree[y].l);
		update(y); return y;
	}
}

void Insert(int val)
{
	int x, y; split(root, val - 1, x, y);
	root = merge(merge(x, Make_Node(val)), y);
}

int Find(int val)
{
	int x, y, ans;
	split(root, val - 1, x, y);
	ans = tree[x].size;
	root = merge(x, y);
	return ans;
}

int main()
{
	srand(time(0));
	n = read(); f[0] = 1; cnt = root = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = read();
	for (int i = 1; i <= n; ++i) f[i] = f[i - 1] * i % P;
	f[0] = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		Insert(a[i]); ans = (ans + ((LL)a[i] - 1 - Find(a[i])) * f[n - i]) % P;
//		printf("%d/%d/%d\n", f[n - i], Find(a[i]), ans);//调试用
	}
	printf("%lld\n", ans + 1);
	return 0;
}