CF940E Cashback 题解

这道题好像很烦，我第一眼看过去确实没有任何思路。

但是仔细分析题目后，我们会发现：

• \(c=1\) 时，答案为 0，但是好像没有这个点？
• \(c > n\) 时，答案为序列总和。
• \(c = n\) 时，答案为序列总和减去最小值。
• \(1 < c < n\) 且 \(n < 2 \times c\) 时，此时序列只能分为一段，而别的序列我们可以看成是长度为 1 的区间。
• \(1 < c < n\) 且 \(2 \times c \leq n\) 时，我们可以将序列分为多段，而此时别的序列仍然可以分割成长度为 1 的区间。

因此只有两种区间：长度为 1 和长度为 \(c\)。

接下来主要考虑 \(1 < c < n\) 的情况。

我们发现，此时问题就变成了一个 dp 问题。

设 \(f_i\) 表示到 \(a_i\) 截止时的答案，那么：

• \(1 \leq i < c\) 时：$$f_i = \sum_{j = 1}^{i}a_j$$
• \(c \leq i \leq n\) 时：$$f_i = \min{(f_{i - c} + sum_i - sum_{i - c} - minn_i,f_{i - 1} +a_i)}$$

其中 \(sum\) 是前缀和数组，\(minn_i\) 表示 \([i - c + 1,i]\) 这一段区间中的 \(a_i\) 的最小值。

然后发现 \(c\) 是确定的，于是对 \(minn_i\) 直接单调队列优化即可，总复杂度 \(O(n)\)。

Code：

/*
======== Plozia =========
	Author:Plozia
	Problem:CF940E Cashback
	Date:2021/1/6
========= Plozia =========
*/

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int MAXN = 1e5 + 10;
int n, c, q[MAXN], l = 1, r = 0;
LL a[MAXN], f[MAXN], minn[MAXN], sum[MAXN];

LL read()
{
	LL sum = 0, fh = 1; char ch = getchar();
	while (ch < '0' || ch > '9') {if (ch == '-') fh = -1; ch = getchar();}
	while (ch >= '0' && ch <= '9') {sum = (sum << 3) + (sum << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
	return sum * fh;
}

int main()
{
	n = read(), c = read();
	for (int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = read();
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		while (l <= r && q[l] + c <= i) l++;
		while (l <= r && a[i] <= a[q[r]]) r--;
		q[++r] = i; minn[i] = a[q[l]]; sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
	}
	for (int i = 1; i < c; ++i) f[i] = f[i - 1] + a[i];
	for (int i = c; i <= n; ++i) f[i] = min(f[i - c] + sum[i] - sum[i - c] - minn[i], f[i - 1] + a[i]);
	printf("%lld\n", f[n]);
	return 0;
}