CF372C Watching Fireworks is Fun 题解

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初步分析：

这道题首先不会是贪心 （其实是我不会） ，看到“最大”二字，又看了眼数据范围，基本上可以定下来是 dp 题了。

首先设状态： \(f[i][j]\) 表示第 \(i\) 个烟花放出时当前人在 \(j\) 位置可以得到的最大开心值。

然后推方程：\(f[i][j]=\max(f[i-1][k]+b[i]-|a[i]-j|),k \in [j-d*(t[i]-t[i-1]),j+d*(t[i]-t[i-1])]\)，应该不难想吧。

根据转移方程，我们要开 \(f[300][150000]\) 的数组，时间复杂度 \(O(mn^2)\)，并且：

int 一时爽，溢出火葬场！

TLE&MLE 警告。。。。。。

所以，我们要优化时空。

进一步优化：

1. 想想学背包时，我们将方程从 \(f[i][j]\) 压为 \(f[j]\) 是因为不需要存下那么多的 \(f[i][j]\) 。同理，这里我们只需要开 \(f[2][150000]\) ，然后滚动压缩即可。MLE 解决。
2. 这里是一个小技巧：观察到无论怎么算，总是要求出 \(b_i\) 的和，那么不如让 \(f[0/1][j]\) 计算 \(|a_i-x|\) 的最小值，将方程变成 \(f[fir][j]=\min(f[sec][k])+|a[i]-j|\)，其中 \(fir=i\&1,sec=fir \oplus 1\)
3. 再一次观察上面的方程，发现 \(k \in [j-d*(t[i]-t[i-1]),j+d*(t[i]-t[i-1])]\) ,是一个固定区间！ 固定区间求最小值，各位能想到什么？单调队列。因此，我们使用单调队列从 1 到 \(n\) 维护一遍区间长度为 \(d*(t[i]-t[i-1])\) 的最小值，再使用单调队列从 \(n\) 到 1 维护一遍区间长度为 \(d*(t[i]-t[i-1])\) 的最小值，一边维护一遍更新即可。时间复杂度优化到 \(O(nm)\) ，TLE 解决。

代码：

放代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN=150000+10,MAXM=300+10;
int n,m,d,a[MAXM],b[MAXM],t[MAXM],q[MAXN],l,r;
typedef long long LL;
LL f[2][MAXN],sum=0;

int read()
{
	int sum=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9') {sum=(sum<<3)+(sum<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
	return sum;
}

int main()
{
	n=read();m=read();d=read();
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		a[i]=read();b[i]=read();t[i]=read();
		sum+=(LL)b[i];
	}
	memset(f,0x3f,sizeof(f));
	for(int i=1;i<=n;i++) f[1][i]=(LL)abs(a[1]-i);
	for(int i=2;i<=m;i++)
	{
		int fir=i&1,sec=i&1^1;
		LL delta_d=(LL)(t[i]-t[i-1])*d;
		l=1,r=0;
		memset(f[fir],0x3f,sizeof(f[fir]));
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			while(l<=r&&(LL)j-q[l]>delta_d) l++;
			while(l<=r&&f[sec][q[r]]>=f[sec][j]) r--;
			q[++r]=j;
			f[fir][j]=min(f[fir][j],f[sec][q[l]]+(LL)abs(a[i]-j));
		}
		l=1,r=0;
		for(int j=n;j>=1;j--)
		{
			while(l<=r&&(LL)q[l]-j>delta_d) l++;
			while(l<=r&&f[sec][q[r]]>=f[sec][j]) r--;
			q[++r]=j;
			f[fir][j]=min(f[fir][j],f[sec][q[l]]+(LL)abs(a[i]-j));
		}
	}
	int fir=m&1;
	LL ans=0x7f7f7f7f7f7f7f7f;
	for(int i=1;i<=n;i++) ans=min(ans,f[fir][i]);
	cout<<sum-ans<<"\n";
	return 0;
}

总结：

对于此类动态规划，一种方法就是：

1. 写出最初始的转移方程
2. 一步一步优化，联系平时所学。
3. 写出最后的转移方程。