[数学] 证明三角形三条中线交于同一点
写作时间：2023年2月21日
引入
在初中时，我们曾学习过：三角形三边中线交于一点，这个交点叫作三角形的重心。同时，在对被重心分割的中线两侧测量时，也可以发现“规律”：
三角形的重心分每条中线为 $1:2$ 的两条线段
如图所示。
但严格来说，三角形的两条中线交于一点是肯定的。然而，第三条中线是否经过这个交点是需要证明的。下面，我们就以向量的形式探究它是否恒成立。
证明：如图，在 \(\triangle ABC\) 中，\(D\)、\(E\)、\(F\) 分别为 \(BC\)、\(AC\)、\(AB\) 的中点。连接 \(BE\)、\(CF\) 交于点 \(O\)，连接 \(AO\)、\(OD\)。
取 \(\overrightarrow{OB}\)、\(\overrightarrow{OC}\) 为基底。并设 \(\overrightarrow{EO}=t_1\overrightarrow{OB}\)，\(\overrightarrow{FO}=t_2\overrightarrow{OC}\)，则
\[\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{OC}=t_1\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}
\]
\[\overrightarrow{FB}=\overrightarrow{FO}+\overrightarrow{OB}=t_2\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}
\]
所以
\[\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{EC}-2\overrightarrow{FB}=2(t_1\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})-2(t_2\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB})=2(t_1-1)\overrightarrow{OB}-2(t_2-1)\overrightarrow{OC}
\]
又 \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}，根据平面向量基本定理，得\)
\[2(t_1-1)=-1
\]
\[2(t_2-1)=-1
\]
解得
\[t_1=\frac{1}{2}，t_2=\frac{1}{2}
\]
因此
\[\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{FO}-\overrightarrow{FA}=\overrightarrow{FO}+\overrightarrow{FB}=\overrightarrow{FO}+\overrightarrow{FO}+\overrightarrow{OB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+OB
\]
\[\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{OB}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})+\overrightarrow{OB}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB})
\]
于是
\[\overrightarrow{AO}=2\overrightarrow{OD}
\]
这样，\(\overrightarrow{AO}\) 与 \(\overrightarrow{OD}\) 共线。所以“三角形三条中线交于同一点”成立。
同时，
三角形的重心分每条中线为 $1:2$ 的两条线段
