ARC146C Even XOR（线性基，组合）

ARC146C Even XOR

有多少集合 $S$，每个元素都在 $[0,2^N)$ 之间，且所有偶数大小的子集的异或和不为 $0$。

CODE

奇数大小的子集 $\oplus$ 和可以为 $0$，可是如果有 $\ge 2$ 个不空且不相同的奇子集 $S,T$ $\oplus$ 和都为 $0$，$S\oplus T$ 是个偶子集，则其 $\oplus$ 和是 $0$。

如果没有这个奇偶的限制，则根据线性基的性质，答案就是

$$\sum _{i=0}^n\frac{1}{i!}\prod _{j=0}^{i-1}(2^n-2^j)$$

否则 DP，设 $f(i,t=0/1)$ 表示当前已经放到了第 $i$ 个数，$t$ 表示是否已经有奇子集 $\oplus$ 和为 $0$。$f(i,0)$ 到 $f(i+1,1)$ 就选前 $i$ 个数理的线性基已经能凑出来的数。有 $2^i$ 种，但是只有 $2^{i-1}$ 满足“奇数大小”要求。具体可以看代码。

void solveT() {
	cin >> n;
	vector<int> f = {1, 0};
	int res = 1;
	R(i, 1, n + 2) {
		if (i == 1) f[1] = 1;
		else f[1] = add(mul(f[1], add(p2[n], mod - p2[i - 2])), mul(f[0], p2[i - 2]));
		f[0] = mul(f[0], add(p2[n], mod - p2[i - 1]));
		res = add(res, mul(add(f[1], f[0]), ifac[i]));
	}
	cout << res ntr;
}