代数几何初步（四）

射影空间和射影集

定义 1 射影空间

设 $k^n$ 为 $k$ 上的向量空间. 在 $k^n\mathrm{\setminus }\{0\}$ 上考虑等价关系 $u\sim v:\iff$ 存在 $\lambda \in k^{\ast }$ 满足 $u=\lambda v$.因此两个向量等价当且仅当它们在 $V$ 中张成同一条直线.
在上述等价关系下，定义 $n$ 维射影空间: ${\mathbb{P}}_k^n={\displaystyle \frac{k^{n+1}\mathrm{\setminus }\{0\}}{\sim }}$ .
在上述等价关系下,引入齐次坐标来表示一个射影点(在所在的 $n+1$ 维在仿射空集中看是一条挖去原点的直线) $[X_0,X_1,\cdots ,X_n]=[\lambda X_0,\cdots ,\lambda X_n](\mathrm{\forall }\lambda \ne 0)$.
则 ${\mathbb{P}}_k^n=\{[X_0:\cdots :X_n]:X_i\in$ $k$ 不全为 $0$ $\}$ 。
一维射影空间 ${\mathbb{P}}_k^1$ 称作射影直线, ${\mathbb{P}}_k^2$ 称作射影平面.

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命题 1 仿射分解

我们有 ${\mathbb{P}}^n$ 的仿射分解:

$${\mathbb{P}}^n=\bigcup _{i=0}^n{U}_i,U_i=\{[X_0:\cdots :X_n]\in {\mathbb{P}}^n:X_i\ne 0\}.$$

容易得到 $U_i$ 与 ${\mathbb{A}}^n$ 间是同构的，比如 ${\varphi }_0:U_0\cong {\mathbb{A}}^n,[X_0,\cdots ,X_n]=[1,x_1=\frac{X_1}{X_0},\cdots ,x_n=\frac{X_n}{X_0}]\mapsto (\frac{X_1}{X_0}\cdots ,\frac{X_n}{X_0})$.

由于不想引入额外的记号，有时我们把 $U_i$ 看做仿射空间中的集合有时我们又把 $U_i$ 看做射影空间中的集合.虽然这两种看法是等价的，但是形式上不太一样，阅读时要注意区分.

${\mathbb{P}}_k^n$ 中的射影点对应仿射空间 $k^{n+1}$ 过原点的直线, $U_0$ 恰好对应这些直线和平面 $X_0=1$ 的交点.

且对于射影点集 $\{[X_0,X_1,\cdots ,X_n]\in {\mathbb{P}}^n:X_i\ne 0,\mathrm{\forall }i=0,1,\cdots ,n\}:=\mathcal{C}$，对于每一个仿射投影平面 $U_i$,映射 ${ı}_i:\mathcal{C}\to U_i$ 都是单射，而且容易知道同一个射影点在不同仿射平面 $U_i$ 上对应的坐标之间的转换映射是有理映射。拿仿射直线 ${\mathbb{P}}^1$ 举例,$U_0=[1:{\displaystyle \frac{X_1}{X_0}}],U_1=[{\displaystyle \frac{X_0}{X_1}}:1]$,转换映射(双射)为 $\mathrm{Im}{ı}_0\to \mathrm{Im}{ı}_1:(1,x)\mapsto (\frac{1}{x},1),x\ne 0$.

${\mathbb{P}}^n=U_0(\cong {\mathbb{A}}^n)\cup V_p(X_0)(\cong {\mathbb{P}}^{n-1})$

$◻$

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命题 2

$f\in k[X_0:\cdots :X_n]$, 记 $f=f_d+f_{d-1}+\cdots +f_1+f_0$, 其中 $f_i$ 是 $i$ 次齐次多项式，$f(\lambda [X])={\lambda }^d{f}_d(\lambda [X])+{\lambda }^{d-1}{f}_{d-1}(\lambda [X])+\cdots$,则

$$f(\lambda [X])\equiv 0\iff \mathrm{\forall }i,f_i([X])=0$$

证明： 自证不难。

该命题告诉我们射影点的零化多项式必须是该射影点的零化齐次多项式的和，所以需要研究齐次多项式生成的理想和对应的零点之间的关系.

定义 2 射影代数集

一个射影代数集定义为 ${\mathbb{P}}^n$ 中某一些齐次多项式的公共零点, 设 $S\subseteq$ $k[X_0,\cdots ,X_n]$ 是一些齐次多项式，记 $V_p(S)$ 为对应的射影代数集。$V_p\left(F(X_0,\cdots ,X_n)\right)$ 称为 $d$ 次超曲面.

例 射影代数集

$V(X_0{X}_1-X_0{X}_3)\subseteq {\mathbb{P}}^3,V(X_0,X_1)\subseteq {\mathbb{P}}^3$

命题 3 射影代数集上的 $\mathrm{Zariski}$ 拓扑

$(1)$ 射影代数集作为闭集定义 ${\mathbb{P}}_k^n$ 中的 $\mathrm{Zariski}$ 拓扑，射影代数集的子集继承 $\mathrm{Zariski}$ 拓扑。
$(2)$ ${\mathbb{P}}^n$ 中的射影代数集和 $U_0$ 的交集是仿射代数集.
$(3)$ $U_0\subseteq {\mathbb{A}}^n$ 原本的 $\mathrm{Zariski}$ 拓扑和作为在射影空间 ${\mathbb{P}}^n$ 的开集诱导的 $\mathrm{Zariski}$ 拓扑一致.

证明：
$(1)$
$V_p(X_0,X_1,\cdots ,X_n)=\varphi ,V_p(0)={\mathbb{P}}^n$.
$\bigcap _{i\in \mathcal{I}}{V}_p(S_i)=V_p(\{S_i|i\in \mathcal{I}\})$.
$V_p(\{F_i\})\bigcup V_p(\{G_j\})=V_p(\{F_i{G}_j\})$.
继承性没什么好说的，和仿射代数集一样。
$(2)$ $V_p(F(X_0,\cdots ,X_n))\cap U_0=V(F(1,x_1,\cdots ,x_n))$.
$(3)$ 也就是要验证 ${\mathbb{P}}^n$ 中的射影闭集 $\cap U_0$ 得到的集合成为 $U_0$ 的仿射闭集，以及反过来这个过程也对.
${\mathbb{A}}^n(x_1,\cdots ,x_n)\to {\mathbb{P}}^n[X_0,X_1,\cdots ,X_n],V(f(x_1,\cdots ,x_n))\mapsto V_p(X_0^{degf}f({\displaystyle \frac{X_1}{X_0}},\cdots ,{\displaystyle \frac{X_n}{X_0}}))$
${\mathbb{P}}^n[X_0,X_1,\cdots ,X_n]\to {\mathbb{A}}^n(x_1,\cdots ,x_n),V_p(F(X_0,\cdots ,X_n))(\cap U_0)\mapsto V(F(1,x_1,\cdots ,x_n))\subseteq {\mathbb{A}}^n$

定义 3 分次环和齐次理想

分次环(graded ring): 一个分次环 $S$ 是一个环, 可以分解为 $\mathrm{Abel}$ 子群的直和 $S=\underset{d\ge 0}{⨁}{S}_d$, 满足 $\mathrm{\forall }d,e\ge 0,S_d\cdot S_e\subset S_{d+e}.S_d$ 中的元素称为 $d$ 次齐次元素, 因此 $S$ 中任一元素可唯一写成有限个齐次元素之和。
例如: $S=k[X_0,\cdots ,X_n]=\underset{d\ge 0}{⨁}{S}_d,S_d=\{$ 所有 $d$ 次齐次多项式 $\}$.

在这种齐次分解(也可以按 $x-a$ 的幂来齐次分解)的意义下,$(x)$ 是齐次理想而 $(x-1)$ 不是齐次理想.

齐次理想(homogeneous ideal): 设 $S=\underset{d\ge 0}{⨁}{S}_d$ 是一个分次环, 称一个理想 $I\subset$ $S$ 是一个齐次理想，如果

$$I=\underset{d\ge 0}{⨁}(I_d=I\cap S_d).$$

由此我们得到分次商环 $S/I:=\underset{d\ge 0}{⨁}{\displaystyle \frac{S_d}{I_d}}$.不难验证该商环确实是分次环。

分次理想也就是说，其任意元素的齐次分解的各成分都仍在该理想里。

命题 4 齐次理想的判定

$(1)$ 理想 $I$ 是齐次的当且仅当 $I$ 可由齐次元素生成;
$(2)$ 若 $I,J$ 是齐次理想, 则 $I+J,IJ,I\cap J,\sqrt{I}$ 都是齐次理想.
$(3)$ 齐次理想 $P$ 是素理想当且仅当: 对齐次元素 $x,y\in S$, 若有 $xy\in P$, 则必有 $x\in P$ 或者 $y\in P$.

证明：
$(1)$
"$\Rightarrow$":$I=\underset{d\ge 0}{⨁}{I}_d$,显然可由齐次元素生成.
"$\Leftarrow$":设 $I=(\{x_{\alpha }{\}}_{\alpha \in \mathcal{A}})$,$x_{\alpha }$ 为齐次元,$\mathrm{deg}{x}_{\alpha }=d_{\alpha }$,任取 $a\in I$,设 $a=a_0+a_1+\cdots +a_n$ 为齐次分解即 $a_d\in S_d$,只需验证 $0\le d\le n,a_d\in I$.
可设 $a={\mathrm{\Sigma }}_{i=1}^n{b}_{{\alpha }_i}{x}_{{\alpha }_i}$,其中每个 $b_{{\alpha }_i}$ 也是齐次的,从而 $b_{{\alpha }_i},x_{{\alpha }_i}$ 为齐次元,且 $b_{{\alpha }_i}{x}_{{\alpha }_i}\in I$,从而说明了每个 $a_d\in I$.
$(2)$ 根据 $(1)$,前两个都是显然的。
$I\cap J$ 齐次:考虑齐次分解 $a=a_0+\cdots +a_n\in I\cap J$ 由于 $I,J$ 齐次可知，每个 $a_d\in I\cap J$.
$\sqrt{I}$ 齐次:设 $x^n\in I$ 。取 $x$ 的最高次齐次部分 $x_k$ ，通过观察次数显然有 $x_k^n\in I$ ，即 $x_k\in \sqrt{I}$ 。现在 $x-x_k$ 再次属于 $\sqrt{I}$ ，因此我们可以重复这一过程，得出 $x$ 在每个次数上的分量都属于 $\sqrt{I}$,于是 $\sqrt{I}$ 是齐次理想。
$(3)$ 只需证明“$\Leftarrow$”：用反证法，假设存在两个元素，它们的乘积 $ab\in \mathfrak{p}$ ，但 $a$ 和 $b$ 均不属于齐次理想 $\mathfrak{p}$ 。设 $a=\sum a_d$ 和 $b=\sum b_d$ 为它们的齐次分解。由于 $a\notin \mathfrak{p}$ ，则某些 $a_d\notin \mathfrak{p}$ ，并且由于除了有限个 $a_d$ 以外，其余 $a_d$ 都为 0 ，存在一个最大的整数 $d$ ，使得 $a_d\notin \mathfrak{p}$ 。类似地，存在一个最大的整数 $e$ ，使得 $b_e\notin \mathfrak{p}$ 。由于 $ab\in \mathfrak{p}$ 且 $\mathfrak{p}$ 是一个齐次理想，因此 $ab$ 的所有分量都属于 $\mathfrak{p}。ab$ 的 $d+e$ 次分量是 $\sum a_i{b}_j$ ，其中求和遍历所有满足 $i+j=d+e$ 的 $(i,j)$ 对。但除了 $(i,j)=(d,e)$ 的情况以外，每个这样的 $(i,j)$ 必定满足 $i>d$ 或 $j>e$ ，因此（由于 $d$ 和 $e$ 的最大性）有 $a_i{b}_j\in \mathfrak{p}$ 。因此， $a_d{b}_e\in \mathfrak{p}$ ，然而 $a_d$ 和 $b_e$ 都不在 $\mathfrak{p}$ 中，这与关于齐次元素 $a_d$ 和 $b_e$ 的原始假设矛盾。简言之: 如果 $a,b$ 是 $\mathfrak{p}$ 的素性反例，那么 $a_d,b_e$ 是一个齐次的反例。$◻$

定义 4 锥、射影点集对应的齐次理想

和仿射代数集一样，射影代数集也可以由理想定义出来，$X=V_p(F_1,\cdots ,F_n)=V_p(I)$,其中 $I=(F_1,\cdots ,F_n)$,现在由命题 $(2)$，我们知道 $I$ 是必须齐次理想才能良好的定义射影零点这些概念。

在射影等价映射 $k^{n+1}\mathrm{\setminus }\{0\}\stackrel{\pi }{\to }{\mathbb{P}}_k^n$ 的意义下，对于一个集合 $X\subseteq {\mathbb{P}}^n$,我们定义其在仿射空间 ${\mathbb{A}}^{n+1}$ 对应的锥为 $C(X):={\pi }^{-1}(X)\cup \{0\}$.

对 $X\subseteq {\mathbb{P}}^n$ ，可以定义射影点集对应的(齐次)理想 $I_p(X):=\{F\in k[X_0,\cdots ,X_n]\mid F(\lambda [\underset{―}{X}])\equiv 0,\mathrm{\forall }\lambda \in k\}$ 。易证 $I_p(X)=I(C(X))$ (右边是仿射代数集对应的根理想)且由命题 $2$ 知，$I_p(X)=I(C(X))$ 为齐次理想.

按照定义, $C(\varnothing )=\{0\},I_p(\varnothing )=(X_0,\cdots ,X_n)=I(0),V_p(X_0,\cdots ,X_n)=\varnothing$，且 $C(0)$ 是没有定义的.

定理 5 射影 $\mathrm{Hilbert}$ 零点定理

设 $I◃k[X_0,\cdots ,X_n]$ 是齐次理想,射影代数簇 $X=V_p(I)\subseteq {\mathbb{P}}^n$. 则
$(1)$ $X=V_p(I)=\varnothing$ 当且仅当 $\sqrt{I}\supseteq (X_0,\cdots ,X_n)$ (最大的齐次真理想)，当且仅当 $\mathrm{\exists }N>0$ 使得 $I\supseteq {(X_0,\cdots ,X_n)}^N$, 即所有次数 $\ge N$ 的齐次多项式均在 $I$ 中.
$(2)$ 若 $X=V_p(I)\ne \varnothing$, 则 $I_p(X)=I_p(V_p(I))=\sqrt{I}$.

证明：
$(1)$ 第二个当且仅当的右推左是显然的，左推右是因为 $\mathrm{Noether}$ 性保证 $\sqrt{I}$ 是有限生成的,不妨设 $\sqrt{I}=(f_1,f_2),f_1^m\in I,f_2^n\in I$ 则 $(X_0,\cdots ,X_n{)}^{m+n}\subseteq {\sqrt{I}}^{m+n}\subseteq I$.

现在来看第一个当且仅当.由 $\mathrm{Hilbert}$ 零点定理,$(X_0,\cdots ,X_n)$ 是极大理想，只需证 $\sqrt{I}=(X_0,\cdots ,X_n)$. 不妨设 $I\ne (1)$ ，故 $\varnothing \ne V(I)\subseteq {\mathbb{A}}^{n+1}$ 。注意根据射影代数集的定义有 $V_p(I)=\varnothing \iff V(I)=(0,0,\cdots ,0)$,于是 $\sqrt{I}=I(V(I))=I(0,0,\cdots ,0)=(X_0,\cdots ,X_n)$.

如果把 $(1)$ 中后两个包含号改成等号则这个当且仅当关系不成立，具体来说 $\mathrm{\exists }N>0$ 使得 $I={(X_0,\cdots ,X_n)}^N\Rightarrow \nLeftarrow \sqrt{I}=(X_0,\cdots ,X_n)$

$(2)$
将 $X$ 对应于 $k^{n+1}$ 中的锥 $C(X)$, 则 $I_p(X)=I(C(X))=I(C(V_p(I)))=I(V(I))=\sqrt{I}$.

显然有 $V_p(I_p(X))\supseteq X,I_p(V_p(I))\supseteq I,V_p$ 作用的反包含关系是自然成立的，故 $V_p(I_p(X))=X$，综上知射影代数集与齐次根式理想一一对应。

定义 5 射影代数簇

不可约射影集也称为射影代数簇，$X=V_p(P)\subseteq {\mathbb{P}}^n,P$ 为素齐次理想，不难证明射影代数集对应的齐次理想一定不包含非零的常数齐次元素，故 $P◃(X_0,\cdots ,X_n)$ (最大的齐次真理想，也是最大的不包含常数元素的齐次理想)， 记 $S_X={\displaystyle \frac{(X_0,\cdots ,X_n)}{P}}$(分次整环),即 $S_X$ 为全体非常数的齐次多项式的商.

不能认为 $S_X$ 是 $X=V_p(P)$ 的多项式函数环，因为射影空间的一个点(一条挖掉原点的直线)可能有不同的函数值，实际上不难发现 $X$ 上合理定义的多项式函数只有常数函数。

定义 6 射影簇上的有理函数

$K(X)=\mathrm{Frac}(S_X)=\{{\displaystyle \frac{\bar{F}(X_0,\cdots ,X_n)}{\bar{G}(X_0,\cdots ,X_n)}}|\bar{F},\bar{G}\in S_X,\mathrm{deg}\bar{F}=\mathrm{deg}\bar{G}\mathrm{且}\bar{G}\ne 0\}$ 称 $K(X)$ 里的一个元素为 $X$ 上的一个有理函数，$K(X)$ 称为 $X$ 的有理函数域。不难验证此时 $K(X)$ 里的元素作用在射影空间的一个点(如果有定义)遍历这条挖掉原点的直线也只会有一个值。
不难发现，$\phi =\frac{\bar{F}}{\bar{G}}$ 在 $U=X\mathrm{\setminus }{V}_{X,p}(\bar{G})$ 是良好定义的。所以 $\mathrm{Dom}(\phi )$ 是可以定义的，而且如同仿射情形，可以证明此为开集。

例

$\phi =\frac{\overline{X_1}}{\overline{X_0}},\mathrm{Dom}(\phi )=U_0,\phi :U_0\to k,[1,x_1,\cdots ,x_n]\to x_1$,又比如 $\phi =\frac{\overline{X_1^2+X_1{X}_2}}{\overline{X_0^2+X_2^2}}{|}_{U_0}:U_0\to k,[1,x_1,\cdots ,x_n]\to \frac{x_1^2+x_1{x}_2}{1+x_2^2}$.

命题 6 $X=V_p(I)$ 不可约 $\iff I_p(X)=\sqrt{I}$ 是素理想。

证明：“$\Rightarrow$”:对 $f,g\in k[X_0,\cdots ,X_n]$ 齐次多项式，假设 $fg\in I_p(X)$ 则： $X=V_{X,p}(f)\cup V_{X,p}(g)$,由 $X$ 不可约，不妨设 $X=V_{X,p}(f),f{|}_X(=\bar{f})=0$,从而 $f\in I_p(X)$.
"$\Leftarrow$":设 $X=X_1\cup X_2$,则 $I_p(X)=I_p(X_1)\cap I_p(X_2)$,进而 $I_p(X_1)I_p(X_2)\subseteq I_p(X)$,由 $I_p(X)$ 的素性不妨设 $I_p(X_1)=I_p(X)$,则两边用 $V_p$ 作用可知 $X_1=X$. $◻$

命题 7 射影代数集的拓扑性质

设 $X=V_p(I)$ 则
$(1)$ $X$ 的闭集降链具有有限长度。
$(2)$ $X$ 可唯一分解为不可约分支的并。

$$X=X_1\cup X_2\cup \cdots \cup X_m$$

证明：与仿射情形证明相同。$◻$

为了方便叙述，给锥记号 $C(X)$ 一个额外的如下定义： 设 $X\subseteq {\mathbb{A}}^{n+1}$ 是一个仿射代数集，有时 $C(X)$ 也表示 $X$ 中的点都和原点连线然后扩充成的锥.在命题 $8$ 的证明里会使用这一记法。

命题 8 射影代数簇的有理函数域同构于其诸仿射投影的有理函数域

$(1)$ 设 $X\subseteq {\mathbb{P}}^n$ 是射影代数簇, 设 $Y:=X\cap U_0(\cong {\mathbb{A}}^n)\ne \varnothing$. 则 $Y$ 是仿射代数簇，而且 $K(X)\cong K(Y)$。
$(2)$ 反之，给了仿射代数簇 $Y\subseteq U_0(\cong {\mathbb{A}}^n)$ ，则存在唯一的射影代数簇 $X$ 使得 $Y=X\cap U_0$.

证明:
$(1)$ 设 $X=V_p(F_1,\cdots ,F_m)$ ，其中 $P=(F_1,\cdots ,F_m)$ 是一个齐次素理想.由 $X\cap U_0\ne \varnothing$, 可知 $X_0\notin P$(因为 $X_0$ 的射影零点都在 $U_0$ 之外) 。
令 $f_i=F(1,x_1,\cdots ,x_n)$ 。则 $Y=V(f_1,\cdots ,f_n)$。下面证明 $(f_1,\cdots ,f_m)\subset$ $k[x_1,\cdots ,x_n]$ 是一个素理想:设 $f(x_1,\cdots ,x_n),g(x_1,\cdots ,x_n)\in k[x_1,\cdots ,x_n]$,若 $fg\in (f_1,\cdots ,f_m)$,则 $V(fg)\supseteq V(f_1,\cdots ,f_m)=Y$.考虑 $f,g$ 的射影化多项式 $\hat{f}=X_0^{\mathrm{deg}f}f(\frac{X_1}{X_0},\cdots ,\frac{X_n}{X_0}),\hat{g}=X_0^{\mathrm{deg}g}g(\frac{X_1}{X_0},\cdots ,\frac{X_n}{X_0})\in k[X_0,\cdots ,X_n]$ 为齐次多项式，注意 $V_p(\hat{f}\hat{g})=C(V(fg))\supseteq C(Y)\Rightarrow V_p(\hat{f}\hat{g})\supseteq \overline{C(Y)}=X$(因为 $C(Y)$ 即 $X$ 中 $X_0\ne 0$ 的射影点，这是 $X$ 的开集，而 $X$ 是不可约的，任意开集都稠密)$\Rightarrow \hat{f}\hat{g}\in I_p(X)$,不妨设 $\hat{f}\in I_p(X)$,则 $\hat{f}(X_0,\cdots ,X_n)={\psi }_1{F}_1+\cdots +{\psi }_m{F}_m$,令 $X_0=1$ 得 $f\in (f_1,\cdots ,f_m)$.
且易知 $I(Y)=(f_1,\cdots ,f_m)$.

容易建立 $K(X)$ 和 $K(Y)$ 之间的自然的一一同态对应为：$K(X)\to K(Y),\frac{\overline{F(X_0,X_1,\cdots ,X_n)}}{\overline{G(X_0,X_1,\cdots ,X_n)}}\mapsto \frac{\overline{F(1,X_1,\cdots ,X_n)}}{\overline{G(1,X_1,\cdots ,X_n)}};K(Y)\to K(X),\frac{\overline{f(x_1,\cdots ,x_n)}}{\overline{g(x_1,\cdots ,x_n)}}\mapsto \frac{\hat{\bar{f}}}{\hat{\bar{g}}}$.第一个映射是同态是显然的，但是通常来说 $\widehat{f+g}\ne \hat{f}+\hat{g}$，所以第二个映射是同态也许需要好好验证一下。自证不难。$\frac{\overline{F(X_0,X_1,\cdots ,X_n)}}{\overline{G(X_0,X_1,\cdots ,X_n)}}\mapsto \frac{\overline{F(1,X_1,\cdots ,X_n)}}{\overline{G(1,X_1,\cdots ,X_n)}}\mapsto \frac{\hat{\bar{F}}}{\hat{\bar{G}}}=\frac{\bar{F}}{\bar{G}},\frac{\overline{f(x_1,\cdots ,x_n)}}{\overline{g(x_1,\cdots ,x_n)}}\mapsto \frac{\hat{\bar{f}}}{\hat{\bar{g}}}\mapsto \frac{\bar{f}}{\bar{g}}$ 故为一一对应于是 $K(X)\cong K(Y)$.

之前我们说过 $X\cap U_i$ 得到的诸仿射集 $Y_i$ 之间有坐标转换映射而且易知是可逆的有理映射所以我们有 $K(X)\cong K(Y_0)\cong \cdots \cong K(Y_n)$

$(2)$ 上一段证明的信息很多，这件事情基本蕴含在 $(1)$ 的证明里了。$◻$