0.2 有限域上的多项式环

我们在本节研究有限域上多项式的一些性质。

所有系数属于 ${\mathrm{F}}_q$ 的单变量多项式

$$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0(a_i\in {\mathrm{F}}_q)$$

全体组成的集合记为 ${\mathrm{F}}_q[x]$, 它对于自然定义的加法和乘法是一个交换环, 并且是整环 (即若 $f(x)g(x)=0$, 则 $f(x)=0$ 或者 $g(x)=0$ ), ${\mathrm{F}}_q[x]$ 叫作 ${\mathrm{F}}_q$ 上 (关于 $x$ 的)多项式环, 如果 $n⩾0,a_n\ne 0,f(x)$ 叫作 $n$ 次多项式, $f(x)$ 的次数表示成 $\mathrm{deg}(f)(=n)$ 。零次多项式为 $f(x)\equiv a_0$, 其中 $a_0$ 是 ${\mathrm{F}}_q$ 中非零元素, 而恒为零的多项式 $f(x)\equiv 0$, 规定次数为 $-\mathrm{\infty }$ 。

在抽象代数中我们对任意域 $F$, 给出多项式环 $F[x]$ 的下列性质, 所以对 ${\mathrm{F}}_q[x]$ 也成立。
$(1)$ 整环 ${\mathrm{F}}_q[x]$ 的单位群 (即乘法可逆元素组成的乘法群)为 ${\mathrm{F}}_q^{\times }$。换句话说, ${\mathrm{F}}_q[x]$ 中多项式 $f(x)$ 可逆 (即 $f(x{)}^{-1}\in {\mathrm{F}}_q[x]$) 当且仅当 $f(x)\equiv a(a\in {\mathrm{F}}_q^{\times })。$
$(2)$ ${\mathrm{F}}_q[x]$ 是主理想整环, 即每个理想 $A$ 都是主理想:

$$A=(f(x))=\{f(x)g(x)\mid g(x)\in {\mathrm{F}}_q[x]\}。$$

当 $A=(0)$ 时, $f(x)=0$, 而当 $A\ne (0)$ 时, $f(x)$ 是非零多项式, 并且 $(f(x))=$ $(g(x))$ 当且仅当 $f(x)=cg(x)$, 其中 $c\in {\mathrm{F}}_q^{\times }$。所以有惟一的首 $1$ 多项式 $f(x)$ (即最高次项系数为 $1$), 使得 $A=(f(x))$ 。并且: $A$ 是素理想当且仅当 $f(x)$ 是 ${\mathrm{F}}_q[x]$ 中的不可约多项式。 ${\mathrm{F}}_q[x]$ 中的非零素理想都是极大理想。

$(3)$ ${\mathrm{F}}_q[x]$ 是惟一分解整环, 即 $:{\mathrm{F}}_q[x]$ 中每个次数 $⩾1$ 的多项式 $f(x)$ 都惟一地分解成

$$f(x)=c{p}_1(x)p_2(x)\cdots p_g(x),$$

其中 $c\in {\mathrm{F}}_q^{\times },p_1(x),\cdots ,p_g(x)$ 是 ${\mathrm{F}}_q(x)$ 中首 $1$ 不可约多项式。

现在研究不可约多项式的性质。与通常实数域或复数域上的多项式相对比,下面一些结果可看到有限域上多项式有不少特别的性质。

定理 1 设 $f(x)$ 是 ${\mathrm{F}}_q[x]$ 中 $n$ 次不可约多项式 $(n⩾1),f(x)\ne x$ 。 $\alpha$ 为 $f(x)$ 在 ${\mathrm{F}}_q$ 的代数闭包中的一个根, 则
$(1)$ $f(x)$ 有 $n$ 个不同的根, 它们是 $\alpha ,{\alpha }^q,{\alpha }^{q^2},\cdots ,{\alpha }^{q^{n-1}}$ 。并且 $n$ 是满足 ${\alpha }^{q^n}=\alpha$ 的最小正整数。
$(2)$ ${\alpha }^{q^i}(0⩽i⩽n-1)$ 有相同的乘法阶 $l,l\mid q^n-1$, 并且 $n$ 也是满足 $q^n\equiv 1(modl)$ 的最小正整数。
$(3)$ $x^{q^n}-x$ 是 ${\mathrm{F}}_q[x]$ 中所有次数除尽 $n$ 的首 1 不可约多项式的乘积。
$(4)$ ${\mathrm{F}}_q[x]$ 中 $n$ 次首 $1$ 不可约多项式的个数为

$$N_q(n)=\frac{1}{n}\sum _{d\mid n}\mu (d)q^{n/d},$$

其中, $\mu (n)$ 是初等数论中的莫比乌斯函数, 定义为

$$\mu (n)=\{\begin{array}{ll}1,& \text{ 若 }n=1,\\ (-1{)}^l,& \text{ 若 }n\text{ 是 }l\text{ 个不同素数之乘积, }\\ 0,& \text{ 否则。 }\end{array}$$

证明：
$(1)$ 和 $(2)$: 先证 ${\mathbf{F}}_q[x]$ 中不可约多项式 $f(x)$ 没有重根(有些材料里称具有这种性质的域为完全域，即其上的多项式都是可分的), 设 $f(x)=$ $\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i(a_i\in {\mathrm{F}}_q,a_n\ne 0)$, 则 $f(x)$ 的形式微商为 $f^{\prime }(x)\in \sum _{i=0}^{n}i{a}_i{x}^{i-1}\in {\mathrm{F}}_q[x]$ 。我们知道, $f(x)$ 没有重根当且仅当 $(f(x),f^{\prime }(x))=1$ 。由 $f^{\prime }(x)$ 的次数小于 $n$, 而 $f(x)$ 是 $n$ 次不可约, 可知当 $(f(x),f^{\prime }(x))\ne 0$ 时, 必然 $f^{\prime }(x)\equiv 0$, 即 $i{a}_i=0\in$ ${\mathrm{F}}_q(0⩽i⩽n)$ 。设 ${\mathrm{F}}_q$ 的特征为素数 $p$, 则当 $p\nmid i$ 时必然 $a_i=0$ 。所以 $f(x)$ 有形式 $f(x)=\sum _{i=0}^t{a}_{ip}{x}^{ip}={\left(\sum _{i=0}^t{a}_{ip}{x}^i\right)}^p$, 这与 $f(x)$ 不可约相矛盾, 于是证明了 ${\mathrm{F}}_q[x]$ 中不可约多项式没有重根。
设 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$ 是 $f(x)$ 的 $n$ 个(不同的)根, $\alpha ={\alpha }_1$, 则 ${\mathrm{F}}_q\left[{\alpha }_i\right]={\mathrm{F}}_{q^n}(1⩽i⩽n)$ 。于是

$$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{n}x+a_0=f(x)=a_n(x-{\alpha }_1)(x-{\alpha }_2)\cdots (x-{\alpha }_n),$$

其中 $x-{\alpha }_i\in {\mathrm{F}}_{q^n}[x](1⩽i⩽n)$ 。将 ${\mathrm{F}}_{q^n}$ 的 ${\mathrm{F}}_q$-自同构 $\tau (\tau (\gamma )={\gamma }^q)$ 同时作用于上式两边的系数可知

$$f(x)=a_n(x-{\alpha }_1^q)(x-{\alpha }_2^q)\cdots (x-{\alpha }_n^q)。$$

所以若 $\alpha$ 为 $f(x)$ 的根, 则 ${\alpha }^q$ 也是 $f(x)$ 的根, 于是 ${\alpha }^{q^i}(i=0,1,2\cdots )$ 均是 $f(x)$ 的根。
由于 $f(x)\ne x$, 可知 $f(x)$ 的根均不为零, 于是 $\alpha$ 为 ${\mathrm{F}}_{q^n}^{\times }$ 中元素, 并且 $\alpha$ 的乘法阶 $l$ 为 $q^n-1$ 为因子, 这表明 ${\alpha }^{q^n-1}=1$, 即 ${\alpha }^{q^n}=\alpha$ 。我们现在证明 ${\alpha }^{q^i}(0⩽i⩽n-1)$ 彼此不同。假如 ${\alpha }^{q^i}={\alpha }^{q^j}(0⩽i<j⩽n-1)$, 则 $1={\alpha }^{q^j-q^i}=$ ${\alpha }^{(q^{j-i}-1)q^i}$, 从而 ${\alpha }^{q^{j-i}-1}={\alpha }^{(q^{j-i}-1)q^n}={\alpha }^{(q^{j-i}-1)q^i{q}^{n-i}}=1$ 。即 ${\alpha }^{q^{j-i}}=\alpha$ 。这表明 $\alpha \in$ ${\mathrm{F}}_{q^{j-i}}$ 而 $1⩽j-i⩽n-1$ 。这与 ${\mathrm{F}}_q[\alpha ]={\mathrm{F}}_{q^n}$ 相矛盾。这就证明了 : 若 $\alpha$ 是 ${\mathrm{F}}_q[x]$ 中 $n$ 次不可约多项式 $f(x)$ 的一个根, 则 $f(x)$ 有 $n$ 个不同的根, 它们是 ${\alpha }^{q^i}(0⩽i⩽$ $n-1)$ 。$(1)$ 和 $(2)$ 的其他论断由上面证明中可以看出(自同构保持乘法阶；如果 $l|q^{n-1}-1$ 那么这些根全都会落到 $F_{q^{n-1}}$ 里，矛盾)。