LOJ 3093: 洛谷 P5323: 「BJOI2019」光线

题目传送门：LOJ #3093。

题意简述：

有 \(n\) 面玻璃，第 \(i\) 面的透光率为 \(a\)，反射率为 \(b\)。

问把这 \(n\) 面玻璃按顺序叠在一起后，\(n\) 层玻璃的透光率。

\(0 < a_i \le 1\)，\(0 \le b_i < 1\)。

题解：

题目中告诉我们，\(n\) 层的玻璃也有透光率，换句话说，多层的玻璃可能可以看作一层。

从这个角度思考，考虑已经求出了前 \(i - 1\) 层玻璃的透光率，如何求出前 \(i\) 层玻璃的透光率。

可以发现已知透光率并不足以进一步求出新的透光率，我们似乎还需要知道反射率。

这时，如果你天真地认为反射率就是从第一面玻璃射入的光的反射率，你就错了。

需要特别注意的是，从第一面和最后一面射入的光的反射率是不相同的。

这是一个很大的坑点，如果注意到了这题就容易了；没注意到就会一直挠头。

总之，我们需要维护两个量：

1. 前 \(i\) 面玻璃按顺序叠在一起后，光从第 \(1\) 面玻璃射入时的透光率。

2. 前 \(i\) 面玻璃按顺序叠在一起后，光从第 \(i\) 面玻璃射入时的反射率。

分别记为 \(P_i\) 和 \(Q_i\)，则不难推出：

\[\begin{aligned}P_i&=P_{i-1}a_i\sum_{k=0}^{\infty}(Q_{i-1}b_i)^k\\Q_i&=b_i+Q_{i-1}a_i^2\sum_{k=0}^{\infty}(Q_{i-1}b_i)^k\end{aligned} \]

其中我们发现带有 \(\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}a^k\) 的形式，当 \(|a|<1\) 时，这个无穷级数等于 \(\displaystyle\frac{1}{1-a}\)。

所以得到最终的递推式：

\[\begin{aligned}P_i&=\frac{P_{i-1}a_i}{1-Q_{i-1}b_i}\\Q_i&=b_i+\frac{Q_{i-1}a_i^2}{1-Q_{i-1}b_i}\end{aligned} \]

先算出 \(\displaystyle\frac{1}{1-Q_{i-1}b_i}\) 可以简化计算。

代码如下：

#include <cstdio>

typedef long long LL;
const int Mod = 1000000007;
const int Inv100 = 570000004;

inline LL Inv(LL b) {
	LL a = 1;
	for (int e = Mod - 2; e; e >>= 1, b = b * b % Mod)
		if (e & 1) a = a * b % Mod;
	return a;
}

int N;
LL P, Q;

int main() {
	scanf("%d", &N);
	P = 1, Q = 0;
	while (N--) {
		LL a, b;
		scanf("%lld%lld", &a, &b);
		a = a * Inv100 % Mod, b = b * Inv100 % Mod;
		LL W = Inv((1 - Q * b % Mod + Mod) % Mod);
		Q = (b + a * a % Mod * Q % Mod * W) % Mod;
		P = P * a % Mod * W % Mod;
	}
	printf("%lld\n", P);
	return 0;
}

题外话：你或许会想，既然反射率不同，透光率是否也不同呢？

然而经过计算，可以得到在每面玻璃两侧的透光率分别相同的情况下，最终两侧的透光率也相同。

这引出了一个有趣的光学原理：可以通过叠加不同的普通玻璃创造出两侧反射率不同的复合玻璃，但是透光率却始终相同。

同时也说明了毛玻璃并不是普通玻璃组合而成的。