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AtCoder Regular Contest 125

题目传送门:AtCoder Regular Contest 125

A - Dial Up

题意简述

给定一个长度为 n 的 01 串 s,和一个长度为 m 的 01 串 t

你有一个 01 串 b,初始时为空串。你可以执行两种操作:

  • 向左或者向右对 s 循环移位。
  • s 的首字符添加到 b 的末尾。

问是否可能能把 b 变成 t,如果可行,求出最少的操作次数。

数据范围:1n,m2×105

AC 代码
#include <cstdio>
#include <algorithm>

const int MN = 200005;
const int MM = 200005;

int N, M;
int S[MN], T[MM];
int A, B;

int main() {
	scanf("%d%d", &N, &M);
	for (int i = 1; i <= N; ++i)
		scanf("%d", &S[i]), A += S[i];
	for (int i = 1; i <= M; ++i)
		scanf("%d", &T[i]), B += T[i];
	if ((A == 0 && B == 0) || (A == N && B == M))
		return printf("%d\n", M), 0;
	if (A == 0 || A == N)
		return puts("-1"), 0;
	if ((S[1] == 0 && B == 0) || (S[1] == 1 && B == M))
		return printf("%d\n", M), 0;
	int Ans = N;
	for (int i = 2; i <= N; ++i)
		if (S[i] != S[1])
			Ans = std::min({Ans, i - 2, N - i});
	T[0] = S[1];
	for (int i = 1; i <= M; ++i)
		Ans += T[i] != T[i - 1];
	printf("%d\n", Ans + M);
	return 0;
}

无解是容易判断的:如果 s 全为一种字符,而 t 中含有至少一个另一种字符则无解。

添加字符的操作需要恰好执行 m 次,输出答案的时候加上就行了,那么就是要求出最少的循环移位次数

如果 t 全为一种字符,而且恰好就是初始时的 s 的首字符,那就不需要循环移位,直接输出 m

否则是需要至少一次循环移位到另一种字符上的,这一定是选取向左或向右碰到的最近的一个不同的字符

在第一次需要循环移位的时候(也就是 t 中第一个不等于 s 的首字符的字符)移动到那里,然后接下来的每一次切换字符(即 titi1)只需要在那个位置周围抖动一下即可。

据此容易写出代码。

时间复杂度为 O(n+m)

B - Squares

题意简述

给定正整数 n,求满足 1x,ynx2y 为完全平方数的数对 (x,y) 的数量,对 998244353 取模。

数据范围:1n1012

AC 代码
#include <cstdio>
#include <cmath>

typedef long long LL;
const int Mod = 998244353;

LL N;

int main() {
	scanf("%lld", &N);
	LL S = 0, D = 0, Ans = 0;
	for (int i = 1; ; ++i) {
		S += 2 * i - 1;
		D += 2;
		if (S > N)
			break;
		Ans += (N - S) / D + 1;
	}
	printf("%lld\n", Ans % Mod);
	return 0;
}

要让 x2y 为完全平方数 z2z0),且 1x,yn,那么一定有 0z<xn,且 x2z2n

可以发现就是对差值 n 的完全平方数数对计数,对 xn 的限制是不必需的,因为如果存在 x2z2n(满足 0z<x)则必然有 xn+12,而在数据范围下必然有 n+12n

即求出此序列中有多少对不同的数的差 n[0,1,4,9,16,25,36,49,]

我们考虑做此转换:将序列差分得到 [1,3,5,7,9,],这是一个等差数列。

然后即是求这个新序列中有多少段非空区间的和 n,然后对区间长度分开考虑:

  • 区间长度为 1:即是求 [1,3,5,7,9,] 中有多少个数 n
  • 区间长度为 2:即是求 [4,8,12,16,20,] 中有多少个数 n
  • 区间长度为 3:即是求 [9,15,21,27,33,] 中有多少个数 n

可以发现每一个都是等差数列,所以每个的答案是很好通过公式计算的,总答案就是每个的答案加起来。

而可以发现每个等差数列的首项都是完全平方数,所以只要枚举 n 次这样的等差数列即可。

时间复杂度为 O(n)

C - LIS to Original Sequence

题意简述

给出一个长度为 k 的整数序列 a1,a2,,ak 满足此序列严格递增且值域在 [1,n] 内。

可以证明一定存在一个 1n 的排列 p1,p2,,pn,满足序列 a 是它的最长上升子序列(LIS)之一

在所有满足条件的序列 p 中,输出字典序最小的那个。

数据范围:1kn2×105

AC 代码
#include <cstdio>

const int MN = 200005;

int N, K;
int B[MN];

int main() {
	scanf("%d%d", &N, &K);
	int j = 1;
	for (int i = 1; i < K; ++i) {
		int x;
		scanf("%d", &x);
		printf("%d ", x);
		B[x] = 1;
		while (B[j]) ++j;
		if (j < x) {
			printf("%d ", j);
			B[j] = 1;
			while (B[j]) ++j;
		}
	}
	for (int i = N; i >= j; i--)
		if (!B[i])
			printf("%d%c", i, " \n"[i == j]);
	return 0;
}

要让字典序最小,我们肯定首先贪心地进行考虑。

显然不能有 p1<a1,否则加入 p1 的话就会增加 LIS 的长度。

k=1 时显然只能有 p=[n,n1,,2,1],否则 LIS 长度将至少为 2

但是我们可以证明当 k2 时,一定可以取 p1=a1 而仍然存在满足条件的 p。一个证明角度如下:

  • p 的第 1 段为 a1,a11,,1
  • p 的第 2 段为 a2,a21,,a1+1
  • ……
  • p 的第 k1 段为 ak1,ak11,,ak2+1
  • p 的最后一段为 n,n1,,ak,ak1,,ak1+1

举个例子,如果 a=[3,5,6,8]n=9,令 p=[3,2,1,5,4,6,9,8,7]

按照上述分段方式,每一段内都是递减的,所以 LIS 在每一段中最多取一个,而存在一种取法取得到序列 a,所以满足条件。

我们已经让 p1 满足字典序尽量小了。但是我们肯定不满足于当 a12 时让 p2=a11。如果此时让 p2=1 会如何呢?

我们考虑上文的分段论证法,如果我们仍然可以让整个序列 p 分成 k 段,每段内都递减,而 a1ak 依次存在于每一段内,则此时的 p 一定是满足条件的。

所以按照此原理,显然当 a12 时是可以让 p2=1 的。即有:

  • 如果 a1=1,则 p1=a1=1
  • 如果 a12,则 p1=a1p2=1

但是对于再下一个元素(如果 a1=1 那就是 p2 否则就是 p3)呢?

它当然可以为 a2(如果 k3),这是由上面的构造保证的,但是它又不能在 [a1+1,a21] 中,否则会增加 LIS 的长度。

那么我们要减小字典序,就是说要让它小于 a1,对于 a1=1 来说这是不可能的,对于 a12 来说这也是不合法的,否则 [p2=1,p3,a2,a3,,ak] 就会成为更长的 LIS。

那么也就是说只能有下一个元素为 a2(如果 k3)。如果 k=2 的话后面就只能从 n 一路递减下来了。

将这样的过程推广到 a 后面的每一项(除了最后一项 ak),就是:

  • p 的下一个元素为 ai
  • 如果最小的可用元素小于 ai,则 p 的下一个元素为这个最小的可用元素。
  • i 自增 1,直到 i=k 为止,此时 p 的尾部填充从 n 递减的可用元素。

这样的构造方法,由于上文的分段论证法,是合法的。而它的字典序最小性由每一步的贪心保证。

找最小可用元素维护一个指针即可。时间复杂度为 O(n)

D - Unique Subsequence

题意简述

给定一个长度为 n 的序列 a1,a2,,an,且 1ain,但可以有重复元素。

求出在它之中作为子序列只出现过恰好一次的非空序列个数,对 998244353 取模。

注:只出现过恰好一次指的是仅存在唯一下标序列满足 a 对应下标的子序列为此序列。

数据范围:1n2×105

AC 代码
#include <cstdio>

const int Mod = 998244353;
const int MN = 200005;

int N;
int l[MN], v[MN], b[MN];

inline void Add(int i, int x) {
	for (; i <= N; i += i & -i)
		b[i] = (b[i] + x) % Mod;
}
inline int Qur(int i) {
	int s = 0;
	for (; i; i -= i & -i)
		s = (s + b[i]) % Mod;
	return s;
}

int main() {
	scanf("%d", &N);
	int s = 0;
	for (int i = 1; i <= N; ++i) {
		int x;
		scanf("%d", &x);
		int f;
		if (l[x]) {
			f = (s - Qur(l[x] - 1) + Mod) % Mod;
			Add(l[x], Mod - v[x]);
			s = (s - v[x] + Mod) % Mod;
		} else
			f = s + 1;
		Add(i, f);
		s = (s + f) % Mod;
		l[x] = i;
		v[x] = f;
	}
	printf("%d\n", s);
	return 0;
}

我们肯定首先考虑子序列自动机的结构。

可以发现这基本上就是要求“正着走子序列自动机得到的下标字典序最小的子序列位置”,与“反着走得到的下标字典序最大的位置”是一样的。

可以证明这个条件等价于:在子序列自动机上走每一步的时候,例如 pipi+1,这之中必须满足 a 在下标区间 [pi+1,pi+11] 中不存在另一个 api。否则 pi 就可以移动到那个位置上而保证还是相同的子序列,但下标集合不唯一。同时还需要保证它在子序列自动机最终到达的位置 pk 是这个数值 apk 的最后一次出现。

转换一下角度,这即是说 pipi+1 的上一次出现 api 的位置,这和子序列自动机的“pi+1pi 的下一次出现 api+1 的位置”是对称的。

也就是说要做 DAG 转移的话,假设当前位置是 i,上一次出现位置是 last,那么只接收来自 [last,i1] 中的,是当前最后一次出现的数值的位置的转移

我们发现这就是限定一段区间内的转移求和,并且会实时更新转移的数组(每计算一个新位置就要把上一次出现位置的转移取消掉)。

这可以通过树状数组实现。时间复杂度为 O(nlogn)

E - Snack

题意简述

n 种小球,第 i 种小球的颜色为 i 并且总共有 ai 个。

m 个盒子,第 i 个盒子中,每一种颜色的小球都不能超过 bi 个,而总小球数不能超过 ci 个。

求最多能在盒子里装入多少小球。

数据范围:1n,m2×105

AC 代码
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <climits>

typedef long long LL;
const int MN = 200005;
const int MM = 200005;

int N, M;
LL A[MN], B[MM], C[MM];
int t[MM], per[MM];

int main() {
	scanf("%d%d", &N, &M);
	for (int i = 1; i <= N; ++i) scanf("%lld", &A[i]);
	for (int i = 1; i <= M; ++i) scanf("%lld", &B[i]);
	for (int i = 1; i <= M; ++i) scanf("%lld", &C[i]);
	for (int i = 1; i <= M; ++i) {
		LL tmp = N - C[i] / B[i];
		if (tmp < 0) tmp = 0;
		t[i] = tmp;
		per[i] = i;
	}
	std::sort(per + 1, per + M + 1, [](int i, int j) {
		return t[i] < t[j];
	});
	std::sort(A + 1, A + N + 1);
	LL Ans = LLONG_MAX;
	LL SumC = 0, SumB = 0, SumA = 0;
	for (int i = 1; i <= M; ++i) SumC += C[i];
	int j = 1;
	for (int i = 0; i <= N; ++i) {
		while (j <= M && t[per[j]] == i) {
			SumC -= C[per[j]];
			SumB += B[per[j]];
			++j;
		}
		if (i != 0)
			SumA += A[i];
		Ans = std::min(Ans, SumA + SumC + SumB * (N - i));
	}
	printf("%lld\n", Ans);
	return 0;
}

显然这是一个网络最大流模型。如图所示:

根据最大流最小割定理,我们转成最小割考虑。

如果左边割掉 x 条边,右边割掉 y 条边,那么就是左边没割掉的每个点,和右边没割掉的每个点,中间的边都要被割掉。

花费即是:

=iXai+iYci+i(NX)j(MY)bj=iXai+iYci+i(MY)bi(nx)=iXai+mi=1{ci, if (i,T) is cutbi(nx), if (i,T) is not cut

再注意到,左侧的 ai,只要确定了 x,如何选取是不影响右侧的,由于是求最小割,所以一定是按 ai 从小到大排序后取前缀。

再注意到,右侧的每个点可以自由选择T 之间的边是否被割,也就是可以选取 min

对于一个固定的 i,可以解得当 \displaystyle x \ge n - \frac{c_i}{b_i} 时才会有 b_i (n - x) \le c_i,否则 c_i < b_i (n - x)

\displaystyle t_i = \max \!\left( \left\lceil n - \frac{c_i}{b_i} \right\rceil\! , 0 \right)\! = \max \!\left( n - \!\left\lfloor \frac{c_i}{b_i} \right\rfloor\! , 0 \right),即如果 0 \le x < t_i 则取 c_i,否则取 b_i (n - x)

则按照 t_i 从小到大排序,从小到大枚举 x,可以双指针统计答案。

时间复杂度为 \mathcal O (n \log n + m \log m)

F - Tree Degree Subset Sum

题意简述

有一棵 n 个结点的无根树,令第 i 个结点的度数为 d_i

求满足条件的数对 (x, y) 的数量:存在一个大小为 x 的点集使得其中结点的度数之和为 y

数据范围:2 \le n \le 2 \times {10}^5

题意简述
#include <cstdio>
#include <functional>

typedef long long LL;
const int Inf = 0x3f3f3f3f;
const int MN = 200005;

int N, deg[MN], buk[MN];

int main() {
	scanf("%d", &N);
	for (int i = 1; i <= 2 * N - 2; ++i) {
		int x;
		scanf("%d", &x);
		++deg[x];
	}
	for (int i = 1; i <= N; ++i)
		++buk[deg[i] - 1];
	static int f[MN];
	for (int i = 1; i <= N - 2; ++i) f[i] = Inf;
	for (int i = 1; i <= N - 2; ++i) if (buk[i]) {
		int len = buk[i] + 1;
		static int g[MN];
		for (int j = 0; j < i; ++j) {
			static int que[MN];
			int head = 1, tail = 0;
			for (int k = j; k <= N - 2; k += i) {
				auto v = [&](int x){ return f[x] - x / i; };
				while (head <= tail && v(que[tail]) > v(k)) --tail;
				que[++tail] = k;
				while (que[head] / i <= k / i - len) ++head;
				g[k] = v(que[head]) + k / i;
			}
		}
		for (int k = 0; k <= N - 2; ++k) f[k] = g[k];
	}
	LL Ans = 0;
	for (int i = 0; i <= N - 2; ++i) Ans += std::max((N - f[N - 2 - i]) - f[i] + 1, 0);
	printf("%lld\n", Ans);
	return 0;
}

我们发现树本身并没有什么用,计算出来度数序列后就可以扔了。

这有点像是个背包问题,但是我们不可能存储两维的信息。

看起来 \displaystyle \sum_{i = 1}^{n} d_i = 2 n - 2 的性质应该是个突破口。

对于这类总和固定的正整数序列,我们知道其中不同的数的个数是 \mathcal O \!\left( \sqrt{n} \right) 的。但是对本题帮助不大。

我们知道一棵大小大于等于 2 的树一定有叶子结点。

对应到序列中就是当长度为 n 的正整数序列的总和为 2 n - 2 时一定有某个 d_i = 1

如果从叶子结点的角度考虑,每加入一个叶子节点,可以让 x, y 均增加 1,反之均减少 1

也就是 y - x 的值是不变的,不过这样比较麻烦,我们令所有 d_i 均减少 1,这样就变成非负整数序列的总和为 n - 2

这样的话就是 y 不变,x 自由变化了。要求的东西的数量也不受影响。

关键点来了:我们猜想,对于一个固定的 y 值,对应的满足条件的 x 值要么不存在,要么形成一段连续区间。证明:

  • 令这个 y 对应的最小 xm(y),而最大 xM(y)
  • 我们即是要证明 M(y) - m(y) \le 2 z,其中 zd_i = 0 的数目。
  • 这是因为在 x 取值最小的方案中,权值为 0 的元素肯定一个都没取;而在 x 取值最大的方案中,权值为 0 的元素肯定全部取到了。
  • 所以调整最小的方案可以取到 [m(y), m(y) + z] 之间的所有 x,而调整最大的方案可以取到 [M(y) - z, M(y)] 之间的所有 x
  • 如果有 M(y) - m(y) \le 2 z 成立,这两个区间的并即是 [m(y), M(y)]。接下来证明此式确实成立:
  • 我们可以说明任意情况下都有 -z \le y - x \le z - 2,于是当 y 固定时所有可能的 x 之间最多差 2 z - 2
  • 我们考虑 y - x 的意义就是每个元素的权值再减去 1,即权值 \ge -1 且总和为 -2 的情况,而权值恰好为 -1 的元素有 z 个。
  • 显然,权值非负的数的权值总和恰好为 z - 2(因为 -2 - z \cdot (-1) = z - 2),所以取得再多也不能超过 z - 2
  • 所以确实有 -z \le y - x \le z - 2。证毕。

那么我们只需要求出所有的 M(y)m(y) 即可。这就可以通过背包求了,但是朴素做复杂度是 \mathcal O (n^2) 的。

不过注意到不同的数的个数是 \mathcal O \!\left( \sqrt{n} \right) 的,所以相当于做多重背包,用单调队列优化即可。

注意要判对于一个 y 区间为空的情况,即不存在合法的 x

一个常数优化手段是注意到如果区间不为空的话,M(y) = n - m(n - 2 - y),所以不用做两次背包 DP。

这题中好像二进制分组优化多重背包比直接单调队列跑得快,虽然理论上多一个 \log,我对此并不太确定是什么原理。jiangly 指正这里不多 \log,因为总和为 s 的正整数序列 a\sum \log c_k\mathcal O \!\left( \sqrt{n} \right),其中 c_k 表示 a_i = k 的个数。

时间复杂度:\mathcal O \! \left( n \sqrt{n} \right)

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