【笔记】微分几何（40420644）
[40420644] 微分几何（Differential Geometry）
开课院系：数学系
主讲教师：李海中
课程学分：4
课程学时：65
\(\newcommand{\R}{{\mathbf{R}}} \newcommand{\la}{\langle} \newcommand{\ra}{\rangle} \newcommand{\v}{\boldsymbol}\)上课时间：每周一 15:20 ~ 16:55、每周四 8:00 ~ 9:35。
教材：《微分几何（第 2 版）》– 彭家贵，陈卿（2021，高等教育出版社）。
参考书：Differential Geometry of Curves and Surfaces (2nd ed.) – Manfredo P. do Carmo (2016, Dover Publications)。
（教材简记为彭陈，参考书简记为 dC。）
教学安排：
- 第 1~4 周：曲线局部理论，曲面局部理论；
- 第 5~9 周：曲面论基本定理，曲面内蕴几何；
- 第 10~16 周：整体微分几何选讲。
第 9 周（或第 10 周）期中考试。
作业 : 期中 : 期末 = 1 : 1 : 3。
所谓“曲线曲面论”以及你个大四的为什么要选数学系大二大三的课？
明人不说暗话，本课程的名称应该为“曲线曲面论”，也即古典的、\(\R^3\) 中的微分几何。正如李老师在第一节课上就强调的，本课程的核心是“用微积分的方法研究曲线、曲面（的结构和性质）”。作业和考核也是以计算居多。加点自信，微积分A(2) 而已。
我并不是要诋毁本课程，但现代与古典确实有高下之分。本学期我同时上两门课程名包含“微分几何”的课程，一门就是本课程，另一门是研究生课“微分几何I－微分流形”，其英文名为“Differentiable Manifolds”，参考书也是用的 J. M. Lee 的 [GTM218] Introduction to Smooth Manifolds。我曾在 Math SE 上提问关于微分几何的教材，回复中有人强调了古典直观的重要性，这也是我坚持同时上两门课程的原因。
至于我为什么要选，算是我学微积分的时候留下来的一个愿望吧，微分形式和 Stokes 定理在那里只不过是浅尝辄止，连让我深究的机会都不给。也有一个原因是，曾有人跟我说过没学过微分几何就相当于“不曾感受过数学的美”，虽然但是，听上去有点极端。至于我为什么不自学，哈哈，笑嘻了 XD。
记号
我们按彭陈的记号来。实数域为 \(\R\)，\(n\) 维 Euclid 空间自然为 \(\R^n\)。当然我们大多数时候都在 \(\R^3\) 中考虑。向量用粗体 \(\v a, \v b\)。\(\R^n\) 中向量的内积为 \(\la \v a, \v b \ra\)，\(\R^3\) 中向量的外积为 \(\v a \wedge \v b\)。
彭陈似乎默认向量是行向量，这点我不好说。
关于上下指标和 Einstein 求和约定的鬼东西，我还暂时没搞明白。只知道好像一般来说一组向量用 \(\v e_1, \ldots, \v e_n\)，而对应的坐标用 \(x^1, \ldots, x^n\)。也不知道对不对，就先放在这里。
一些概念的定义上，课件、教材、参考书均稍有出入。一般以课件为准，关键的出入我会标记。
彭陈的第一章以及第一次作业
本章似乎简单回顾了线性代数中的有限维实内积空间（自然，它们完全等价于 Euclid 空间）以及 \(\R^3\) 中的外积和一些向量分析的知识。
然后以“几何”的角度赋予了 Euclid 空间 \(E^3\) 中的有向线段（即向量）以实向量空间、以及实内积空间的结构。
还定义了一个扯淡的叫做“合同变换”的东西。然而它的英文是“congruent transformation”，此处 congruent 取几何中的“全等”之意，而不是数论/代数中的“同余”，也不是二次型中的“合同”。说白了就是只让做正交变换完了再平移的仿射变换，\(\mathrm O(3)\) 罢了，显摆什么啊？这个东西更明确的称呼应该是等距同构（isometry，Wikipedia 的 Isometry 词条也说了这东西也叫 congruent transformation）。
第一次作业
- 证明 \(\R^3\) 中以如前所述“几何”的角度（或者说，以不依赖于基的选取的角度）定义的内积、外积具有和以代数角度定义的内积、外积相同的性质，如分配律。
就是对于 \(\la \v a, \v b + \v c \ra\) 和 \(\v a \wedge (\v b + \v c)\) 这种形式，先排除 \(\v a = \v 0\) 的情况，然后讨论一下 \(\v b\) 和 \(\v c\) 沿着 \(\v a\) 方向的投影部分和正交部分（纯几何角度哈！），接着用三角函数关系说明一下投影部分和正交部分是哪一边起作用哪一边没作用（纯几何角度哈！），最后倒一倒式子就行。
- （彭陈习题一. 5）讨论向量运算在等距同构 \(\mathcal T\) 下的性质，比如外积。
\((\mathcal T \v v) \wedge (\mathcal T \v w) = \operatorname{sgn}(\mathcal T) \cdot \mathcal T(\v v \wedge \v w)\)。这里 \(\operatorname{sgn}(\mathcal T)\) 就是说 \(\mathcal T\) 是刚体运动还是“反”刚体运动，即那个正交变换的行列式。自然，我们知道镜子里的右手定则就该改叫“左手定则”了。
要证明，一个妙招是考虑 \(\la \v u, (\mathcal T \v v) \wedge (\mathcal T \v w) \ra\)，写成混合积再写成行列式形式，然后提出去一个正交矩阵 \(\v T\)，会给 \(\v u\) 做个 \(\mathcal T^{-1}\) 变换，因等距同构保内积变成 \(\la \v u, \mathcal T(\v v \wedge \v w) \ra\)。根据 \(\v u\) 的任意性得 \((\mathcal T \v v) \wedge (\mathcal T \v w) = \operatorname{sgn}(\mathcal T) \cdot \mathcal T(\v v \wedge \v w)\)。 - （彭陈习题一. 2）对于 \(C^\infty\) 向量值函数 \(\v a(t)\)，证明：
- （dC 习题 1-2. 5）\(\lvert \v a(t) \rvert\) 为常数当且仅当 \(\la \v a(t), \v a'(t) \ra = 0\)；
- 在前提 \(\v a(t) \ne 0\) 下，\(\v a(t)\) 的方向不变当且仅当 \(\v a(t) \wedge \v a'(t) = \v 0\)。
- 考虑 \(\lvert \v a \rvert = \sqrt{\la \v a, \v a \ra}\)，故等价于 \(\la \v a(t), \v a(t) \ra\) 为常数，求导得 \(2 \la \v a(t), \v a'(t) \ra\)，由微积分基本定理知欲求等价性成立。
- 因 \(\v a(t) \ne 0\)，可定义 \(\v e(t) = \v a(t) / \lvert \v a(t) \rvert\) 为 \(\v a\) 的方向向量，则 \(\v e(t)\) 也 \(C^\infty\) 且 \(\la \v e, \v e \ra = 1\) 为常数。根据上一问，有 \(\la \v e, \v e' \ra = 0\)。在此前提下，\(\v e'(t) = \v 0\) 就等价于 \(\v e(t) \wedge \v e'(t) = \v 0\)。则 \(\v a\) 方向不变就是 \(\v e'(t) = 0\)，等价于 \(\v e(t) \wedge \v e'(t) = \v 0\)。最后你倒倒式子发现 \(\v e(t) \wedge \v e'(t) = (\v a(t) \wedge \v a'(t)) / \lvert \v a(t) \rvert^2\)，于是欲求等价性就成立了。
曲线论初步、彭陈的第二章、dC 的第一章、以及第二次作业
定义（曲线）. 从 \(\R\) 的开区间（端点可无界）到 \(\R^n\) 的光滑向量值函数称为曲线。
（TODO）
