C++ 数据结构 3：树和二叉树

1 树

1.1 定义

由一个或多个(n ≥ 0)结点组成的有限集合 T，有且仅有一个结点称为根（root），当 n > 1 时，其余的结点分为 m (m ≥ 0)个互不相交的有限集合T1,T2，…，Tm。每个集合本身又是棵树，被称作这个根的子树 。

1.2 结构特点

• 非线性结构，有一个直接前驱，但可能有多个直接后继（1:n）

• 树的定义具有递归性，树中还有树。

• 树可以为空，即节点个数为0。

1.3 术语

• 根：即根结点(没有前驱)

• 叶子：即终端结点(没有后继)

• 森林：指m棵不相交的树的集合(例如删除A后的子树个数)

• 有序树：结点各子树从左至右有序，不能互换（左为第一）

• 无序树：结点各子树可互换位置。

• 双亲：即上层的那个结点(直接前驱) parent

• 孩子：即下层结点的子树 (直接后继) child

• 兄弟：同一双亲下的同层结点（孩子之间互称兄弟）sibling

• 堂兄弟：即双亲位于同一层的结点（但并非同一双亲）cousin

• 祖先：即从根到该结点所经分支的所有结点

• 子孙：即该结点下层子树中的任一结点

• 结点：即树的数据元素

• 结点的度：结点挂接的子树数（有几个直接后继就是几度）

• 结点的层次：从根到该结点的层数（根结点算第一层）

• 终端结点：即度为 0 的结点，即叶子

• 分支结点：除树根以外的结点（也称为内部结点）

• 树的度：所有结点度中的最大值（Max{各结点的度}）

• 树的深度(或高度)：指所有结点中最大的层数（Max{各结点的层次}）

上图中的结点数＝ 13，树的度＝ 3，树的深度＝ 4

1.4 树的表示法

1.4.1 广义表表示法

用广义表表示法表示上图：

中国（河北（保定，石家庄），广东（广州，东莞），山东（青岛，济南））

根作为由子树森林组成的表的名字写在表的左边

1.4.2 左孩子右兄弟表示法

左孩子右兄弟表示法可以将一颗多叉树转化为一颗二叉树：

节点的结构：

节点有两个指针域，其中一个指针指向子节点，另一个指针指向其兄弟节点。

1.5 树的结构

1.5.1 逻辑结构

一对多（1:n），有多个直接后继（如家谱树、目录树等等），但只有一个根结点，且子树之间互不相交。

1.5.2 存储结构

树的存储仍然有两种方式：

• 顺序存储

可规定为：从上至下、从左至右将树的结点依次存入内存。

重大缺陷：复原困难（不能唯一复原就没有实用价值）。

• 链式存储

可用多重链表：一个前趋指针，n个后继指针。

细节问题：树中结点的结构类型样式该如何设计？

即应该设计成“等长”还是“不等长”？

缺点：等长结构太浪费（每个结点的度不一定相同）；

不等长结构太复杂（要定义好多种结构类型）。

以上两种存储方式都存在重大缺陷，应该如何解决呢？

计算机实现各种不同进制的运算是通过先研究最简单、最有规律的二进制运算规律，然后设法把各种不同进制的运算转化二进制运算。树的存储也可以通过先研究最简单、最有规律的树，然后设法把一般的树转化为这种简单的树，这种树就是 二叉树。

2 二叉树

2.1 定义

n（n ≥ 0）个结点的有限集合，由 一个根结点 以及 两棵互不相交的、分别称为左子树和右子树的 二叉树 组成 。

2.2 逻辑结构

一对二（1：2）

2.3 基本特征

• 每个结点最多只有两棵子树（不存在度大于2的结点）

• 左子树和右子树次序不能颠倒（有序树）

2.4 基本形态

2.5 二叉树的性质

• 性质1: 在二叉树的第 i 层上至多有 \({2^{i-1}}\) 个结点（i > 0）

• 性质2: 深度为 k 的二叉树至多有 \({2^{k-1}}\) 个结点（k > 0）

• 性质3: 对于任何一棵二叉树，若 2 度的结点数有 n2 个，则叶子数（n0）必定为 n2＋1 （即 n0 = n2 + 1）

满二叉树：一棵深度为k 且有 \({2^{k-1}}\) 个结点的二叉树。

特点：每层都“充满”了结点

完全二叉树：深度为 k 的，有 n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 k 的满二叉树中编号从 1 至 n 的结点一一对应。

• 性质4: 具有 n 个结点的完全二叉树的深度必为 \({log_{2}n} +{1}\)

• 性质5: 对完全二叉树，若从上至下、从左至右编号，则编号为i 的结点，其左孩子编号必为 2i，其右孩子编号必为 2i＋1。其双亲的编号必为i/2（i＝1 时为根,除外）

使用此性质可以使用完全二叉树实现树的顺序存储。

2.2 二叉树的表示

2.2.1 二叉链表 表示法

一般从根结点开始存储。相应地，访问树中结点时也只能从根开始。

存储结构：

结点数据类型定义：

typedef struct BiTNode
{
	int		data;
	struct BiTNode *lchild, *rchild;
}BiTNode, *BiTree;

2.2.2 三叉链表 表示法

存储结构：

每个节点有三个指针域，其中两个分别指向子节点（左孩子，右孩子），还有一共指针指向该节点的父节点。

结点数据类型定义：

//三叉链表
typedef struct TriTNode 
{
	int data;
	//左右孩子指针
	struct TriTNode *lchild, *rchild;
	struct TriTNode *parent;
}TriTNode, *TriTree;

2.2.3 双亲 表示法

存储结构：

每个节点都由一个数据结构组成，每个节点顺序排放在数组中。

结点数据类型定义：

//双亲链表
#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef struct BPTNode
{
	int data;	// 数据
	int parentPosition; //指向双亲的指针，数组下标
	char LRTag; //左右孩子标志域
}BPTNode;

typedef struct BPTree
{
//因为节点之间是分散的，需要把节点存储到数组中
	BPTNode nodes[100]; 
	int num_node;  //节点数目
//根结点的位置，注意此域存储的是父亲节点在数组的下标
	int root; 
}BPTree;

2.3 二叉树的遍历

定义：指按某条搜索路线 遍访每个结点且不重复。

遍历方法：

牢记一种约定，对每个结点的查看都是“先左后右” 。

限定先左后右，树的遍历有三种实现方案：

 DLR                 LDR                LRD

先 (根)序遍历 中 (根)序遍历 后(根)序遍历

• DLR：先序遍历，即先根再左再右

• LDR：中序遍历，即先左再根再右

• LRD： 后序遍历，即先左再右再根

注：“先、中、后”的意思是指访问的结点 D 是先于子树出现还是后于子树出现。

2.3.1 先序遍历

PreOrder(NODE *root )
{  
    if (root) //非空二叉树
    {
printf(“%d”,root->data); //访问D
PreOrder(root->lchild); //递归遍历左子树
PreOrder(root->rchild); //递归遍历右子树
    }
}

2.3.2 中序遍历

InOrder(NODE *root)
{ 
if(root !=NULL)
  {  
InOrder(root->lchild);
      printf(“%d”,root->data);
      InOrder(root->rchild); 
  } 
}

2.3.3 后序遍历

PostOrder(NODE *root)
{
if(root !=NULL) 
   {
PostOrder(root->lchild);
       PostOrder(root->rchild);
       printf(“%d”,root->data); 
   } 
}

2.3.4 三种遍历的本质

从前面的三种遍历算法可以知道：如果将printf语句抹去，除去printf的遍历算法：

XXX (NODE *root)
{  
if(root) 
   {
XXX(root->lchild);
       XXX(root->rchild);
   }
}

从递归的角度看，这三种算法是完全相同的，或者说这三种遍历算法的访问路径是相同的，只是访问结点的时机不同。

从虚线的出发点到终点的路径上，每个结点经过 3 次。

• 第 1 次经过时访问＝先序遍历

• 第 2 次经过时访问＝中序遍历

• 第 3 次经过时访问＝后序遍历

2.4 二叉树的创建

2.4.1 先序和中序 创建树

算法

• 通过先序遍历找到根结点A，再通过A在中序遍历的位置找出左子树，右子树

• 在A的左子树中，找左子树的根结点（在先序中找），转步骤1

• 在A的右子树中，找右子树的根结点（在先序中找），转步骤1

练习1：

先序遍历结果：A D E B C F

中序遍历结果：D E A C F B

解：

练习2：

先序遍历结果：A B D H K E C F I G J

中序遍历结果：H K D B E A I F C G J

解：

2.4.2 # 号法 创建树

什么是 # 号法创建树：# 创建树，让树的每一个节点都变成度数为 2 的树

例子1： 124###3##

解：

例子2：先序遍历：A B D H # K # # # E # # C F I # # # G # J # #,请画出树的形状

解：

# 号法编程实践：

利用前序遍历来建树：

Bintree createBTpre( )
{      Bintree T; char ch;
        scanf(“%c”,&ch);
        if(ch==’#’) T=NULL; 
        else
        {   T=( Bintree )malloc(sizeof(BinTNode));
            T->data=ch;
            T->lchild=createBTpre(); 
            T->rchild=createBTpre();
        }        
        return T;
}

使用后序遍历的方式销毁一棵树， 先释放叶子节点，在释放根节点：

void  BiTree_Free(BiTNode* T)
{	
	BiTNode *tmp = NULL;
	if (T!= NULL)
	{
		if (T->rchild != NULL) BiTree_Free(T->rchild);
		if (T->lchild != NULL) BiTree_Free(T->lchild);
		if (T != NULL)
		{
			free(T); 
			T = NULL;
		}
	}
}

3 霍夫曼树

3.1 概念

组建一个网络，耗费最小 WPL(树的带权路径长度)最小，称为 霍夫曼树。

从树中一个节点到另一个节点之间的分支构成两个节点之间的路径，路径上的分支数目称作 路径长度。

例子：

如下图的二叉树 a 中，根节点到节点 D 的路径长度为 4，二叉树 b 中根节点到节点 D 的路径长度为 2。树的路径长度就是从树根到每一节点的路径长度之和。二叉树 a 的树路径长度就为 1+1+2+2+3+3+4+4=20。二叉树 b 的树路径长度为 1+2+3+3+2+1+2+2=16。

3.2 霍夫曼树的构造

对于文本”BADCADFEED”的传输而言，因为重复出现的只有“ABCDEF”这6个字符，因此可以用下面的方式编码：

A	B	C	D	E	F
000	001	010	011	100	101

B A D C A D F E E D 001 000 011 010 000 011 101 100 100 011

接收方可以根据每 3 个 bit 进行一次字符解码的方式还原文本信息。这样的编码方式需要 30 个 bit 位才能表示 10 个字符那么当传输一篇 500 个字符的情报时，需要 15000 个 bit 位，在战争年代，这种编码方式对于情报的发送和接受是很低效且容易出错的。如何提高收发效率？

A	B	C	D	E	F
01	1001	101	00	11	1000

B A D C A D F E E D 1001 01 00 101 01 00 1000 11 11 00

准则：任一字符的编码都不是另一个字符编码的前缀！

也就是说：每一个字符的编码路径，都不包含另外一个字符的路径。

3.2.1 构建规则

• 给定 n 个数值{ v1, v2, …, vn}。

• 根据这 n 个数值构造二叉树集合 F = { T1, T2, …, Tn}，Ti 的数据域为 vi，左右子树为空。

• 在 F 中选取两棵根结点的值最小的树作为左右子树构造一棵新的二叉树，这棵二叉树的根结点中的值为左右子树根结点中的值之和

• 在 F 中删除这两棵子树，并将构造的新二叉树根节点加入 F 中

• 重复 3 和4，直到 F 中只剩下一个树为止。

这棵树即 霍夫曼树

3.2.2 特点

• 所用的字符都作为叶子节点出现。

• 根到每个字符的路径都不重复，也不存在重叠的现象。

3.2.3 特点

• 霍夫曼树是一种特殊的二叉树。

• 霍夫曼树应用于信息编码和数据压缩领域。

• 霍夫曼树是现代压缩算法的基础。