【学习笔记】 狄利克雷与莫比乌斯

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10.9.2018

前置知识

数论函数

指一个正整数集对一个数集的映射 可以看成 N+->R

加法

若函数 \(f(x) + g(x) = h(x)\) 那么 \(h(x) = \sum_{i=1}^n{f(i)+g(i)}\)
即对应项相加

数乘

若函数$ x f(x) = (xf)(n) $
即对每一项系数都乘x

狄利克雷卷积

可以看成是函数的乘法
若 $ t = f *g $ 即 t 为f卷g的结果 那么 有 $$ h(n) = \sum_{i|n}{f(i)g(\frac{n}{i})} $$ 或者是 $$ h(n) = \sum_{ij==n}{f(i)g(j)} $$
类似是做了一种乘法，有点像叉积= =类比一下，这个大概的背一下还是很好记的

性质

• 满足交换律 \(h= a*b = b*a\)是一样的（参见上面的公式）
• 满足结合律 \(h= （a*b）*c = a*（b*c)\) 可以看成n的三个数分解
• 分配律 \((f+g）*h = f*h +g*h\) 因为狄利克雷卷积针对的是单项，所以f和g先加起来再乘的项和先乘再加的结果是一样的（代点例子就看出来了）
• 数乘结合律 \(xf *g = x(f*g)\) 用上面的分配律正反各一遍

基本数论函数

\(\mu(n)\) 莫比乌斯函数 下面介绍
\(\phi(n)\) 欧拉函数 不大于n的与n互质的个数
\(\epsilon(n)\) 元函数 \(\epsilon(n) = [n==1]\) 即n=1时为1 否则为0
\(\iota(n)\) 恒等函数 永远为1
\(id(n)\) 单位函数 \(id(n)==n\)

积性函数

\(f(n*m)=f(n)*f(m)\) 上面提到的欧拉函数就是一种，值得注意的是如果一个函数是两个积性函数卷积而来的，那么这个函数也是积性函数
PF：

\[h(n*m)= \sum_{d|n*m}{f(d)g(\frac{n*m}{d})} \]

\[\quad\quad\quad\quad= \sum_{i|n,j|m}{f(ij)g(\frac{n*m}{i*j})} \]

\[\quad\quad\quad\quad\quad\quad= \sum_{i|n,j|m}{f(i)f(j)g(\frac{n}{i})g(\frac{m}{j})} \]

\[\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=\left( \sum_{i|n}{f(i)g(\frac{n}{i})} \right)\left( \sum_{j|m}{f(j)g(\frac{m}{j})} \right) \]

\[=h(n)h(m) \]

函数的逆函数

即若\(f*g=\epsilon\)则f，g互为逆函数，（BTW） 如果f为积性函数，那么g也为积性函数

莫比乌斯反演

我们定义函数$$F(n)=\sum_{d|n}{f(d)}$$
那么我们可以反演出 $$f（n）=\sum_{d|n}{\mu(\frac{n}{d})F(d)}$$

推导

有$$F(n)=\sum_{d|n}{f(d)}$$ （这个式子和卷积很想把）
可以看成$$F(n)=\sum_{d|n}{f(d)}{1}$$
即$$F(n)=\sum_{d|n}{f(d)}{\iota(\frac{n}{d})}$$
化简一下就是$$F=f\iota$$
两边同时乘上\(\mu\) 有 $$F\mu = f*\iota \mu $$
也就是 $$f(\iota \mu) = f\epsilon = f $$
下面证明 \(\iota *\mu=\epsilon\)
首先，什么是莫比乌斯函数

\[ \mu(d)=\begin{cases} 1 & d==1 \\ (-1)^k & 分解质因数后只有一次幂，k为质因数个数 \\ 0 & 剩下的 \end{cases}\]

一个性质$$\sum_{d|n}{\mu(d)}=\epsilon$$
当n==1 是 显然成立
当n>=1 时
有$$d=p1^{a1}\times p2^{a2}\times p3^{a3}\times \ldots\times pk^{ak}$$
如果其中有一个\(ai\)大于0 那么得出的\(\mu\)为0(定义)
所以\(\sum_{d|n}{\mu(d)}\) 就等于从k个质因子中取奇数个（-1）和偶数个（1） 的和
式子表示就是

\[\sum_{d|n}{\mu(d)} = \sum_{i=0}^k{(-1)^k C_k^i} \]

根据二项式定理 原式就是$$ \sum_{i=1}^k{(-1)k C_k^i} = ((x=1)+(y=-1))^n = 0^n $$
证毕
那么由$$\sum_{d|n}{\mu(d)}=\epsilon$$ 可以推出 $$\epsilon = \sum_{d|n}{\mu(d)} * \iota (\frac{n}{d})$$
简写就是上面的式子了
所以莫比乌斯反演成立

代码

线筛莫比乌斯函数

void get_mu(int n)
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!vis[i]){prim[++cnt]=i;mu[i]=-1;}
        for(int j=1;j<=cnt&&prim[j]*i<=n;j++)
        {
            vis[prim[j]*i]=1;
            if(i%prim[j]==0)break;
            else mu[i*prim[j]]=-mu[i];
        }
    }
 }