自适应辛普森积分法

今天谈一谈自适应辛普森积分法

积分定义不多说了

那辛普森积分法是干什么的呢？

我们想求\(\displaystyle \int _{a}^{b}\displaystyle f(x)dx\)

首先假设你现在并不会直接求积分,我们只能求个近似值

那求近似值方法就多了,我们可以近似成矩形和,梯形和

但是这些不是时间复杂度太高,就是精度太低

我们想为什么用矩形,梯形拟合曲线时存在较大误差,显然用直线拟合曲线不是很靠谱

我们就想到使用曲线拟合曲线

为了是表达简单我们选择的曲线是二次函数

当然这也不是最好的方法,但他在实际运行效果还是不错的

更好的拟合方式是牛顿-科特斯公式什么的，由于我也不会,暂时不说了

设\(f(x)\approx Ax^2+Bx+C\)

\(=\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\approx \displaystyle \int _{a}^{b}Ax^2+Bx+C\)

\(=\displaystyle \int _{a}^{b}Ax^2+\displaystyle \int _{a}^{b}Bx+\displaystyle \int _{a}^{b}C\)

\(=\displaystyle \frac{A}{3}x^3+\frac{B}{2}x^2+Cx\displaystyle|_{a}^{b}\)

\(=\frac{(a-b)}{6}(2{A}(a^2+ab+b^2)+3{B}(a+b)+6C)\)

\(=\frac{(a-b)}{6}(({A}a^2+{B}a+C)+({A}b^2+{B}b+C)+4((\frac{a+b}{2})^2A+(\frac{a+b}{2})B+C))\)

\(=\frac{(a-b)}{6}(f(a)+f(b)+4*f(\frac{a+b}{2}))\)

于是得出最终结论\(\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\) \(\approx\) \(\frac{(a-b)}{6}(f(a)+f(b)+4*f(\frac{a+b}{2}))\)

当然光这么算精度差太多

我们边从中点将\([a,b]\)分成\([a,\frac{a+b}{2}]\),\([\frac{a+b}{2},b]\)

类似分治

当精度够了,也就是说\(\displaystyle \int _{a}^{\frac{a+b}{2}}f(x)dx\)+\(\displaystyle \int ^{b}_{\frac{a+b}{2}}f(x)dx-\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx<eps\)
时便停止递归
\(Code\)

//f(x) 为原函数
const db eps=1.0e-8;
#define hps eps*0.5
inline db gral(db l,db r)
{
    return (r-l)/6.0*(f(l)+f(r)+4*f((l+r)/2.0));
}
inline db sim(db l,db r,db v,db eps)
{
    db mid=(l+r)/2.0,t;
    db lv=gral(l,mid),rv=gral(mid,r);
    if(fabs(t=lv+rv-v)<eps*15) return lv+rv+t/15;
    return sim(l,mid,lv,hps)+sim(mid,r,rv,hps);
}

自适应辛普森积分也算说完了