Heap:左式堆的应用例（任意序列变单调性最小价值）
首先来说一下什么是左式堆：
A：左式堆是专门用来解优先队列合并的麻烦（任意二叉堆的合并都必须重新合并，O（N）的时间）。
左式堆的性质：
1.定义零路经长：节点从没有两个两个儿子节点的路经长，把NULL定义为-1
2.堆性性质（x的键值比x左右两个儿子节点的键值要大或者要小）
3.堆中的每一个节点x，左儿子的零路经长至少与右儿子的零路经长一样长。
4.节点的距离等于右节点的距离+1.
引理：
若左式堆的距离定义为一定值，则节点数最少的左式堆是完全二叉堆。
定理：
若左式堆的距离为k，则这棵树最少有2^(k+1)-1个节点（由引理推出）
B：左式堆的特殊操作：（Merge）
左式堆一般以结构体定义，结构体要有3个区域：键值区，零路经长区，左右节点区
左式堆和二叉堆的其他操作都是类似的，但是其核心操作都是围绕Merge展开的。
Merge例程：
1 LEFTIST_NODE *Merge1(LEFTIST_NODE *const s1, LEFTIST_NODE *const s2)//以最小堆为例 2 { 3 if (s1->left == NULL) s1->left = s2; 4 else 5 { 6 s1->right = Merge2(s1->right, s2); 7 if (s1->left->zeroh < s1->right->zeroh)//如果违反零节点定理，我们交换节点 8 { 9 LEFTIST_NODE *tmp = s1->left; 10 s1->left = s1->right; s1->right = tmp; 11 } 12 s1->zeroh = s1->right->zeroh + 1;//因为这个时候右节点的零节点路经长总是小于左节点的,零点路径长总是取最小的 13 } 14 return s1; 15 } 16 17 LEFTIST_NODE *Merge2(LEFTIST_NODE *const s1, LEFTIST_NODE *const s2) 18 { 19 if (s1 == NULL) 20 return s2; 21 else if (s2 == NULL) 22 return s1; 23 else if (s1->elements < s2->elements) 24 return Merge1(s1, s2); 25 else//s1->elements < s2->elements 26 return Merge1(s2, s1); 27 }
有了Merge，一切都变得很简单了
Insert操作：把Insert的值单独列为一个新的节点，然后Merge即可。
DeleteMin（Max）操作：把根节点的左右子堆合并，并且清除根节点。
C：左式堆的应用，数字序列（就是POJ 3666）
POJ 3666那题，可以用左式堆来做。（这一题只用求不下降序列）
那么怎么做呢？这一题可以这么思考：
我们把泥土划分为一个一个区间：比如[q[i]-q[i+1]-1]，[q[i+1],q[i+2]-2]....这样的话，每一个区间的最小价值，就是区间内的所有值改为该区间的中位数，每个区间的中位数是上升的，即可
不过这样说有点先入为主了，我们想一下这样做为什么对。
其实也用不着多严格的证明，我们可以这样看
我们来看这样一个图，假设一个区间的数的分布就是这样的，其实这个价值点就是到任意蓝色轴的距离，那么这个区间所有点的最小值什么时候到最小？没错，就是到中点的时候。
把这个结论推广到全序列，那就是保证当每个区间的中位数是递增的，然后最小值就是对应区间的数变成对应中位数所需要的价值之和。
那么怎么编程呢？左式堆简直就是为这一题设的！
我们可以弄一个这样的堆，堆的最大值是这个区间的中位数，也就是堆只管理区间的一半（当然要另外开一个区域记录区间的实际大小）。
我们把每一个节点当做新的堆，如果序列是递增的，我们就把一个一个节点当做区间，并且不断压入栈，如果出现新入栈的节点的数值（也就是新的区间中位数，只有一个节点当然是节点的键值就是中位数了），那么我们就合并堆，直到合并到栈中的根的键值（中位数）是递增即可，同时，我们合并的时候，因为堆的信息只保留区间一半（包括中位数），也就是(len[k]+1)/2，如果出现新的堆和旧的堆合并，且(len[k]+1)/2+(len_new+1)/2>(len[k]+len_new+1)/2的时候（最多新的堆只会比要求大1），那么直接弹出堆的最大根，弹出后的堆根键值刚好就是符合条件的中位数。
参考：http://blog.csdn.net/iaccepted/article/details/6748038
http://m.blog.csdn.net/blog/u013595779/44004041
代码：
1 #include <iostream> 2 #include <functional> 3 #include <algorithm> 4 #define NullNode -1 5 #define MAX_N 2001 6 7 using namespace std; 8 9 typedef int Position; 10 typedef struct _leftistheap 11 { 12 int value; 13 Position left, right; 14 int Npl; 15 }Left_Heap; 16 Position Merge1(Position, Position, Left_Heap *); 17 Position Merge2(Position, Position, Left_Heap *); 18 19 static int len[MAX_N]; 20 static int road[MAX_N]; 21 Position stack[MAX_N];//中点栈组 22 Left_Heap Increase_Set[MAX_N]; 23 24 long long Search(const int, Left_Heap *); 25 void Swap(Left_Heap *, Position); 26 27 int main(void)//O(nlogn)处理3666 28 { 29 int n; 30 long long ans1; 31 while (~scanf("%d", &n)) 32 { 33 memset(Increase_Set, -1, sizeof(Increase_Set)); 34 for (int i = 0; i < n; i++) 35 { 36 scanf("%d", &road[i]); 37 Increase_Set[i].value = road[i]; 38 Increase_Set[i].Npl = 0; 39 } 40 ans1 = Search(n, Increase_Set); 41 printf("%lld\n", ans1); 42 } 43 return 0; 44 } 45 46 Position Merge1(Position H1, Position H2, Left_Heap *Node_Set) 47 { 48 if (H1 == NullNode) 49 return H2; 50 else if (H2 == NullNode) 51 return H1; 52 else if (Node_Set[H1].value >= Node_Set[H2].value)//注意符号！！！ 53 return Merge2(H1, H2, Node_Set); 54 else 55 return Merge2(H2, H1, Node_Set); 56 } 57 58 Position Merge2(Position H1, Position H2, Left_Heap *Node_Set) 59 { 60 if (Node_Set[H1].left == NullNode) 61 Node_Set[H1].left = H2; 62 else 63 { 64 Node_Set[H1].right = Merge1(Node_Set[H1].right, H2, Node_Set); 65 if (Node_Set[Node_Set[H1].left].Npl < Node_Set[Node_Set[H1].right].Npl) 66 Swap(Node_Set, H1); 67 Node_Set[H1].Npl = Node_Set[Node_Set[H1].right].Npl + 1;//不能用pos2了，已经变了 68 } 69 return H1; 70 } 71 72 void Swap(Left_Heap *Node_Set, Position x) 73 { 74 Node_Set[x].left ^= Node_Set[x].right; 75 Node_Set[x].right ^= Node_Set[x].left; 76 Node_Set[x].left ^= Node_Set[x].right; 77 } 78 79 long long Search(const int n, Left_Heap *Node_Set) 80 { 81 memset(len, 0, sizeof(len)); 82 int top = 0, sum_node_tmp, pos, k; 83 long long ans = 0; 84 85 for (int i = 0; i < n; i++) 86 { 87 sum_node_tmp = 1; pos = i; 88 while (top > 0 && Node_Set[stack[top - 1]].value > Node_Set[pos].value) 89 //左式堆只储存左半树的信息，也就是以中位数为最大的最大堆 90 { 91 pos = Merge1(stack[top - 1], pos, Node_Set);//合并成一棵新的堆，现在新的堆的堆头就是新的区间中位数 92 if ((len[top - 1] + 1) / 2 + (sum_node_tmp + 1) / 2 > (len[top - 1] + sum_node_tmp + 1) / 2) 93 //如果比保留长度大（而且只会大1，则弹出最大节点） 94 pos = Merge1(Node_Set[pos].left, Node_Set[pos].right, Node_Set); 95 sum_node_tmp += len[--top]; 96 } 97 len[top] = sum_node_tmp; 98 stack[top++] = pos; 99 } 100 101 for (int i = 0, j = 0; i < top; i++) 102 { 103 k = Node_Set[stack[i]].value; 104 while (len[i]--) 105 ans += abs(road[j++] - k); 106 } 107 return ans; 108 }
这是0（nlogn）的算法，优化程度立竿见影
