【一个蒟蒻的挣扎】最小生成树—Kruskal算法

济南集训第五天的东西，这篇可能有点讲不明白提前抱歉（我把笔记忘到别的地方了

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 最小生成树

概念：一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。

​在一给定的无向图G = (V, E) 中，(u, v) 代表连接顶点 u 与顶点 v 的边（即），而 w(u, v) 代表此边的权重，若存在 T 为 E 的子集（即）且为无循环图，使得 w(T) 最小，则此 T 为 G 的最小生成树。                                                                                                                                                                                                                                    

最小生成树其实是最小权重生成树的简称。                                                                                                                           

 

最小生成树性质：设G=(V，E）是一个连通网络，U是顶点集V的一个非空真子集。若(u，v）是G中一条“一个端点在U中（例如：u∈U），另一个端点不在U中的边（例如：v∈V-U），且（u，v）具有最小权值，则一定存在G的一棵最小生成树包括此边（u，v）。                                        

性质证明：

使用反证法证明；可参考旁边的图（画图画出来的，很丑见谅）

 

先做以下约定：①将集合U中的顶点看作是红色顶点，②而V-U中的顶点看作是蓝色顶点，③连接红点和蓝点的边看作是紫色边，④权最小的紫边称为轻边（即权重最"轻"的边）。于是，MST性质中所述的边（u，v）就可简称为轻边。

用反证法证明MST性质：

假设G中任何一棵MST（最小生成树）都不含轻边（u，v）。则若T为G的任意一棵MST，那么它不含此轻边。

根据树的定义，则T中必有一条从红点u到蓝点v的路径P，且P上必有一条紫边（u'，v'）连接红点集和蓝点集，否则u和v不连通。当把轻边（u，v）加入树T时，该轻边和P必构成了一个回路。删去紫边（u'，v'）后回路亦消除，由此可得另一生成树T'。

T'和T的差别仅在于T'用轻边（u，v）取代了T中权重可能更大的紫边（u'，v'）。因为w(u，v）≤w(u'，v'），所以

w(T')=w(T)+w(u，v)-w(u'，v'）≤w(T)

即T'是一棵比T更优的MST，所以T不是G的MST，这与假设矛盾。

所以，MST性质成立。                                                                                                                                    ————以上来自于百度百科（卑微的蒟蒻）（他讲的比我好多了）

有两种算法可以求最小生成树，Prim算法和Kruskal算法

根据老师的说法prim不考（他也没上），所以这里只介绍Kruskal算法

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kruskal算法

 Kruskal算法所用的思想是贪心和并查集（所以还挺好理解的……吧……）

• 按照边权将边进行排序，然后从小到大连接最小的边（贪心）
• 若出现环，就跳过此边继续搜（用并查集判断）
• 直到已经使用的边数量为点数n-1（这点应该是由于树的性质？恳请大佬解答！！！）

——证明过程待填充——

思路部分看明白后大概就可以考虑代码了，想不出来欢迎来看一下我的程序（的注释）（仅能保证算法正确过得去洛谷模板题）

写的出来就可以跳过这段（写的也不咋样的）代码试试下面的题目了！

（洛谷模板题难度是 普及- 哦！！！努力努力肯定能想明白的！！！）

（当然如果你是大佬来挑错也非常欢迎……私信好吗？）

#include<iostream> 
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m;
struct edge
{
    int u,v,w;
    edge(){};
    edge(int a,int b,int c)
    {
        u=a; v=b; w=c;
    }
}E[200001];//建图存图 
int ans=0;
bool cmp(edge a,edge b)
{
    return a.w<b.w;
}//结构体快排 
int fa[200001];
int find(int x)
{
    while(x!=fa[x]) x=fa[x]=fa[fa[x]];
    return x;
}//并查集 
int cnt;
void kruskal()
{
    sort(E+1,E+m+1,cmp);//先对边进行排序 
    for (int i=1; i<=m; i++)
    {
        int au=find(E[i].u),av=find(E[i].v);
        if (au==av)
        {
            continue;
        }//确定他们是否构成环（有同一个祖先），是的话就continue。 
        ans+=E[i].w;//将这个最小边权加入最后答案 
        fa[av]=au;//加入并查集 
        if (++cnt==n-1)
        {
            break;
        }//如果达到条件就退出 
    }
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for (int i=1; i<=n; i++)
    {
        fa[i]=i;
    }//对并查集的初始化 
    for (int i=1; i<=m; i++)
    {
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        E[i]=edge(a,b,c);//读入数据并存进边里 
    }
    kruskal();//诺 
    cout<<ans;//输出答案！ 
    return 0;//——结——束——啦 ——！ 
}

 

多练练哦，板子是要背掉的（你的板子背了没？没）

可以的话继续往下

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例题练手

这篇博客主要是介绍最小生成树和如何求最小生成树（Kruskal算法），讲题目并不是目的，所以这里只粘出了题目（我做过的相关的（我觉得海星的））和链接，有需要自行取用来练手，多练练总是好的

https://www.luogu.org/problem/P3366                【普及-】

• 这是个板子题啦，如果觉得我讲的很垃圾可以去看看题解，大概就能懂了，题解是大佬云集的地方呢（%%%）

https://www.luogu.org/problem/P1991                【普及+/提高】

• 要难一、、,多出了一种情况（还是最小生成树做，有大佬提出用瓶颈生成树然而——我并没有看懂）题目还行可以练练！

2019-09-2420:22:54

好的暂时先这么多，会在之后补充题目（加入好点的题删除不好的题）

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好的！那么到这里就结束啦！

有看不懂的可以看看我里面提到的东西，我哪里写的不行也欢迎指正（私信）

那么这篇博客就到这里啦

感谢观看   ありがとうございます