UVALive 6486 Skyscrapers 简单动态规划

题意：

　　有N个格子排成一排，在每个格子里填上1到N的数(每个只能填一次)，分别代表每个格子的高度。现在给你两个数left和right，分别表示从左往右看，和从右往左看，能看到的格子数。问有多少种情况。

数据范围： N<5000；

思路：

　　首先枚举最高的一块，在最高的格子的后面的格子都一定会被挡住。所以，除了最高的那一格之外，从左边能看到的格子，从右边一定看不到；从右边能看到的也是一样。

　　因此，除了最高的那个格子，左边的是否能被看见，和右边的无关。所以，我们可以以最高的格子为界，把这一排格子分成左右两部分。

　　在这样子，我们就可以把左边和右边看成是一种情况：把n个高度不等的方块排成一列，要求从前面只能看到k个，有多少种。

　　　　我们把上面问题（n个格子，看见k个）的结果记为f[n, k]。

　　　　对于上面那个问题，我们考虑两种情况：最高的放在最后，和最高的不放在最后。 

　　1. 如果最高的放最后，因为最高的一定不会被挡住，所以，前面n-1个格子，需要被看见k-1个。

　　2. 如果最高的不放在最后，那么，最后一格一定会被挡住（因为最高的在它前面，而且会挡住他），所以前面n-1个格子，仍然需要被看见k个。

上面第一种，情况只有一种；而第二种情况有n-1种（把n-1个不是最高的中任意一个放到最后都满足）。

　　所以 f[n, k] = f[n-1, k-1] + (n-1)*f[n-1, k]。

　　另外就是边界情况，k=1的时候，这样一定就是最高的放最前面，后面随便放，所以就是 f[n, 1] = (n-1)!。

　　还有就是，组合数可以用杨辉三角来求，这个是学弟说的，本人数学功底太差 0 0、

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;
const int MAXN = 5005;
const ll MOD = (ll)1e9+7.0;


ll dp[MAXN][MAXN];
ll C[MAXN][MAXN];
ll ni[MAXN];

int n, l, r;
ll ans;

int main()
{
    #ifdef Phantom01
        freopen("in.txt", "r", stdin);
        freopen("my.out", "w", stdout);
    #endif // Phantom01

    dp[0][0] = dp[1][1] = 1;
    for (int i = 1; i < MAXN; i++)
        dp[0][i] = dp[i][0] = 0;
    for (int i = 2; i < MAXN; i++)
        dp[i][1] = (dp[i-1][1]*(i-1))%MOD;
    for (int i = 1; i < MAXN; i++)
        for (int j = 2; j < MAXN; j++)
            dp[i][j] = (dp[i-1][j-1]+(dp[i-1][j]*(i-1))%MOD)%MOD;

    for (int i = 0; i < MAXN; i++) {
        C[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j <= i; j++)
            C[i][j] = (C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%MOD;
    }

    while (scanf("%d%d%d", &n, &l, &r)!=EOF) {
        if (!(n||l||r)) break;
        ans = 0;
        if ((l+r)<=(n+1)) {
            for (int i = l; i <= (n-r+1); i++) {
                ans = (ans+( ( (dp[i-1][l-1]*dp[n-i][r-1])%MOD) *C[n-1][i-1])%MOD)%MOD;
            }
        }
        printf("%d\n", (int)ans);
    }
    return 0;
}