公钥密码原理及RSA密码

公钥密码

相对于对称密码，对称密码中，加密解密的密钥相同，因此要向接收者配送密钥，即密钥配送问题。公钥密码则不需要，因为公钥密码有公钥和私钥

密钥配送问题

简而言之，运用对称密码时，配送密钥时密钥有可能被窃听者拿到，而如果不配送密钥，解密者无法解密。如何把密钥安全地送到解密者手上，这就是密钥配送问题
一些方法

1.事先共享密钥

在送密文之前就先以安全方式共享密钥。但此方法受空间距离和人数规模限制，越远越不好共享，人越多越不好共享

2.密钥分配中心

Key Distribution Center, KDC.密钥分配中心先生成一个通信密钥，每一个需要加密通信的人只要和密钥分配中心事先共享密钥即可。密钥分配中心可以是一台服务器，一台计算机等载体。
加密通信流程：
1.A，B有各自的密钥，从KDC取得
2.A发起对B通信请求，KDC收到请求，伪随机数生成器生成临时密钥
3.KDC用A密钥加密临时密钥发给A，用B密钥加密临时密钥发给B
4.A,B各自收到加密后临时密钥，各自用自己的密钥解密，然后用临时密钥加密邮件，发送给B，B用临时密钥解密密文
5.删除临时密钥

局限性：一旦KDC故障，整个用户整体的加密通信直接瘫痪；如果用户整体中有窃听者并且通过技术手段盗取了密钥数据库，则整个用户整体的加密通信直接告破。

3.Diffie-Hellman密钥交换

加密通信双方需要交换一些信息，双方可以生成相同密钥，但窃听者无法生成相同密钥，后面详讲

4.公钥密码

加密密钥和解密密钥不同，发送者发送密文和加密密钥给接收者，但只有接收者有解密密钥，因此窃听者即使窃听到了也无法解密

什么是公钥密码

密钥分加密密钥和解密密钥，发送者用加密密钥加密，接收者用解密密钥解密
解密密钥从一开始就是接收者本人保管
加密密钥一般是直接公开，因此称之为公钥
解密密钥绝对不可公开，称之为私钥
公钥和私钥一一对应，一对公钥私钥称之为密钥对，两个密钥之间有强烈的数学关系，因此无法独立生成某一个密钥

公钥加密流程

A,B进行加密通话，由接收者B启动
1.B生成密钥对，发送公钥给A
2.A用公钥加密发回给B
3.B用私钥解密

非对称密码=公钥密码
私钥=个人密钥=私有密钥=非公开密钥=私有秘密密钥

公钥密码无法解决的问题

1.判断所得公钥是否合法，被称为公钥认证问题。
2.处理速度只有对称密码的几百分之一

了解RSA算法前的准备工作

mod运算

除法求余运算，用mod定义，类比时钟转的运算

加法

9点转15刻度：（9+15）/12=2余2 即时钟转到两点
上式写成：26mod12=2，读作26与2以12为模同余

减法

由于时钟不能逆时针转，所以要转模-已转刻度，转回0刻度
比如时针在8，则需要转12-8=4小时来回到0刻度

乘法

约等于加法

除法（重点）

研究倒数存在问题
在mod12 条件下，是否每一个数都有对应的倒数？
0不存在，0乘任何数都是0
1存在，1×1 mod 12=1
2不存在，2作乘法一定只会是偶数
3也不存在，列表可知
4同2
经过列表研究，发现在mod 12条件里，1，5，7，11是存在倒数的

其规律就在于：在mod 12条件下，存在倒数的数，和12的公约数只有1，即该数与模互质
所以要判断一个数在某个模下是否有倒数，就看该数和模是否互质

乘方

7的四次方 mod 12=7×7×7×7 mod 12
这里我们分开来mod
即((7×7 mod 12)×(7×7 mod 12))mod 12
在中间步骤进行mod运算，正是RSA加密解密算法中所使用方法

对数运算

时钟运算中的对数称为离散对数，运算量很大，在Diffile-Hellman密钥交换协议和ElGamal公钥算法中运用到，此处不细讲

从时钟到RSA

要理解上面的乘方，乘方运算就是RSA核心

RSA

RSA加密算法：
密文=明文的E次方 mod N
RSA解密算法
明文=密文的D次方 mod N
E和N的组合就是公钥
D和N的组合就是私钥

生成密钥对

求E,D,N三个数就是生成密钥对的过程
步骤
1.求N
2.求L（只在生成密钥对过程中使用的数）
3.求E
4.求D

1.求N

准备两个很大的质数p和q，为了防止被简单破译因此用大的
生成方法：伪随机数生成器生成后判断是否为质数
N=p×q

求L

L是p-1和q-1的最小公倍数（least common multiple简称lcm）
L=lcm(p-1,q-1)

求E

E是一个比1大比L小的数，此外，E和L的最大公约数（greatest common multiple简称gcm）
则有
1<E<L
gcd(E,L)=1
通过伪随机数生成器再1<E<L范围内找数，判断第二个条件
最大公约数用辗转相除法求
gcd(E,L)=1是为了保证一定存在解密时需要的D（上面除法那里说的倒数存在条件）

求D

1<D<L
E×D mod L=1

经历上述几步，我们求到了D,N,E。EN构成公钥，DN构成私钥

例题：BUUCTF RSA
在一次RSA密钥对生成中，假设p=473398607161，q=4511491，e=17
求解出d作为flga提交

思路：
N=pq
L=(p-1)(q-1)

17*D mod L=1
p = 473398607161
q = 4511491
e = 17

N = 2135733555619387051
L = 2135733082216268400

脚本：
import gmpy2
p = 473398607161
q = 4511491
e = 17