logistic回归和softmax回归

logistic：二分类

softmax：多分类

logistic回归

在 logistic 回归中，我们的训练集由 \textstyle m 个已标记的样本构成：\{ (x^{(1)}, y^{(1)}), \ldots, (x^{(m)}, y^{(m)}) \}。由于 logistic 回归是针对二分类问题的，因此类标记 y^{(i)} \in \{0,1\}。

 

假设函数(hypothesis function): \begin{align}h_\theta(x) = \frac{1}{1+\exp(-\theta^Tx)},\end{align}

 

代价函数(损失函数):\begin{align}J(\theta) = -\frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^m y^{(i)} \log h_\theta(x^{(i)}) + (1-y^{(i)}) \log (1-h_\theta(x^{(i)})) \right]\end{align}

我们的目标是训练模型参数\textstyle \theta，使其能够最小化代价函数。

假设函数就相当于我们在线性回归中要拟合的直线函数。

 

softmax回归

在 softmax回归中，我们的训练集由 \textstyle m 个已标记的样本构成：\{ (x^{(1)}, y^{(1)}), \ldots, (x^{(m)}, y^{(m)}) \}。由于softmax回归是针对多分类问题（相对于 logistic 回归针对二分类问题），因此类标记 \textstyle y 可以取 \textstyle k 个不同的值（而不是 2 个）。我们有 y^{(i)} \in \{1, 2, \ldots, k\}。

 

对于给定的测试输入 \textstyle x，我们想用假设函数针对每一个类别j估算出概率值 \textstyle p(y=j | x)。也就是说，我们想估计 \textstyle x 的每一种分类结果出现的概率。因此，我们的假设函数将要输出一个 \textstyle k 维的向量（向量元素的和为1）来表示这 \textstyle k 个估计的概率值。 具体地说，我们的假设函数 \textstyle h_{\theta}(x) 形式如下：

假设函数：\begin{align}h_\theta(x^{(i)}) =\begin{bmatrix}p(y^{(i)} = 1 | x^{(i)}; \theta) \\p(y^{(i)} = 2 | x^{(i)}; \theta) \\\vdots \\p(y^{(i)} = k | x^{(i)}; \theta)\end{bmatrix}=\frac{1}{ \sum_{j=1}^{k}{e^{ \theta_j^T x^{(i)} }} }\begin{bmatrix}e^{ \theta_1^T x^{(i)} } \\e^{ \theta_2^T x^{(i)} } \\\vdots \\e^{ \theta_k^T x^{(i)} } \\\end{bmatrix}\end{align}
其中 \theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_k \in \Re^{n+1} 是模型的参数。请注意 \frac{1}{ \sum_{j=1}^{k}{e^{ \theta_j^T x^{(i)} }} }这一项对概率分布进行归一化，使得所有概率之和为 1 。

为了方便起见，我们同样使用符号 \textstyle \theta 来表示全部的模型参数。在实现Softmax回归时，将 \textstyle \theta 用一个 \textstyle k \times(n+1) 的矩阵来表示会很方便，该矩阵是将 \theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_k 按行罗列起来得到的，如下所示：

\theta = \begin{bmatrix}\mbox{---} \theta_1^T \mbox{---} \\\mbox{---} \theta_2^T \mbox{---} \\\vdots \\\mbox{---} \theta_k^T \mbox{---} \\\end{bmatrix}
也就是说\textstyle h_{\theta}(x)表示的是x属于不同类别的概率组成的向量。
代价函数：\begin{align}J(\theta) = - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{k} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)} }}\right]\end{align}
\textstyle 1\{\cdot\} 是示性函数，其取值规则为 
 值为真的表达式


值得注意的是，logistic回归代价函数是softmax代价函数的特殊情况。因此，logistic回归代价函数可以改为：

\begin{align}J(\theta) &= -\frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^m (1-y^{(i)}) \log (1-h_\theta(x^{(i)})) + y^{(i)} \log h_\theta(x^{(i)}) \right] \\&= - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=0}^{1} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; \theta) \right]\end{align}
一点个人理解：

为什么二分类中参数只有一个\textstyle \theta，而k分类中参数却有k个。

其实二分类中的\textstyle \theta是y=1情况下的参数，而y=0情况下其实未给出参数，因为y=0的假设函数值可以通过1-(y=1的假设函数值)得到。同理，k分类中参数其实只需要k-1个参数就可以了，多余的一个参数是冗余的。
具体冗余参数有什么负面影响，参考Softmax回归 http://ufldl.stanford.edu/wiki/index.php/Softmax%E5%9B%9E%E5%BD%92

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posted @ 2018-05-21 19:28  瘋耔  阅读(264)  评论(0)  编辑  收藏  举报
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