分数阶导数的基本概念与介绍

重要参考

• 华东师范大学 潘建瑜 教授 第一讲 分数阶微分方程

• 维基百科分数微积分

• 连接成功-知乎 慢慢推导柯西重复积分公式

• 维基百科Gamma函数

以下是我的整理

一、学习的思路

我们熟知的是整数阶的微积分定义，分数阶微积分的定义一般就是由已知的定义推导而来的。所以学习之前需要看看整数阶微积分的定义再推分数阶即可。

在粘弹性研究中一般使用的是 Riemann-Liouville 分数阶导数定义，我就先主要学习这个。如果用上述定义，那么就得先学习分数阶积分定义，再用整数解导数。所以看似学习分数阶积分，实际上学的是分数阶积分的定义。

二、前置知识

1.柯西重复积分公式

重复积分的定义：

\[\begin{align} I^{(0)}(x)&=f(x)\\[1.2ex] I^{(1)}(x)&=\int^xf(t)\ dt\\[1.2ex] I^{(2)}(x)&=\int^x\int^{t_1}f(t_2)\ dt_2\ dt_1\\[1.2ex] \cdots\\[1.2ex] I^{(n)}(x)&=\int^x\int^{t_1}\cdots \int^{t_{n-1}}f(t_{n-1})\ dt_{n-1}\ dt_{n-2} \cdots\ dt_2 \ dt_1\\[1.2ex] I^{(n)}(x)&=\int^xI^{(n-1)}(t)\ dt\\[1.2ex] \end{align} \]

简单说就是 \(I^{(n)}(x)\) 就是对 \(f(x)\) 求 \(n\) 次积分。

推导柯西重复积分:

2.\(\Gamma\)函数

在推导分数阶积分的公式的时候用到。在这里只需要知道Gamma函数是阶乘概念的推广即可。

\[\Gamma(n+1)=n! \]

因此上面推导的柯西重复积分定义

\[I^{(n)}(x)=\dfrac{1}{\Gamma(n)}\int^x (x-t)^{n-1}f(t)dt \]

三、R-L 分数阶积分

如前所述，学习 Riemann-Liouville 分数阶导数定义之前，先要学习分数阶积分的概念。

记导数算子为 \(D\)，即

\[Df(x)\triangleq\dfrac{df}{dx},D^2f(x)\triangleq\dfrac{d^2f}{dx^2},\cdots,D^nf(x)\triangleq\dfrac{d^nf}{dx^n} \]

记 \(_aD_x^{-1}\) 表示变上限积分，即

\[\begin{align} _aD_x^{-1}f(x)&\triangleq\int_a^xf(t)dt \\[2ex] _aD_x^{-2}f(x)&\triangleq_aD_x^{-1}\left(_aD_x^{-1}f(x)\right)\\[2ex] &\cdots\\[2ex] _aD_x^{-n}f(x)&\triangleq_aD_x^{-1}\left(_aD_x^{n-1}f(x)\right),\ x>a \end{align} \]

易知道，对任意正整数 \(n\)，都有

\[D^n\left(_aD^{-n}_x f(x)\right)=f(x) \]

下面讨论 \(n\) 重变上限积分 \(_aD_x^{-n}f(x)\) 的表达形式：

\[_aD_x^{-n}f(x)=\int_a^xd\tau_1\int_a^{\tau_1}d\tau_2\cdots\int_a^{\tau_{n-1}}f(\tau_n)d{\tau_n} \]

由重积分的Cauchy公式，可得：

\[_aD_x^{-n}f(x) =\dfrac{1}{(n-1)!}\int_a^x(x-\tau)^{(n-1)}f(\tau)d\tau =\dfrac{1}{\Gamma(n)}\int_a^x(x-\tau)^{(n-1)}f(\tau)d\tau \]

由于Gamma函数对任意正实数都有定义，因此我们可以其推广到任意正实数情形。

3.1分数阶积分定义

设 \(a>0\)，\(f(x)\in L_1[a,b]\)，则 \(f(x)\) 的 \(\alpha\) 阶微积分为：

\[_aD_x^{-\alpha}f(x)=\dfrac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_a^x(x-\tau)^{(\alpha-1)}f(\tau)d\tau \]

虽然名称中是"分数阶",但事实上是对任意正实数都有定义

显然，当 \(\alpha\) 是正整数时， \(_aD_x^{-\alpha}\)就是通常意义下的整数阶积分。

如果 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，则可以证明：

\[\lim\limits_{a\to 0}{_aD_x^{-\alpha}f(x)}=f(x) \]

通常记为

\[{_aD_x^{0}f(x)}=f(x) \]

上面定义的是左分数阶导数，这是因为 \(f(x)\) 在 \(x\) 点的分数阶导数是通过 \(f(x)\) 在区间 \([a, x]\) 中的值来表示的。实际上还可以定义右分数阶导数。一个代表 “过去”, 而另一个代表 “未来”

3.2分数阶积分的存在性

参看 华东师范大学 潘建瑜 教授 第一讲 分数阶微分方程

3.3分数阶积分的性质

参看 华东师范大学 潘建瑜 教授 第一讲 分数阶微分方程

四、Riemann-Liouville分数阶导数

Riemann-Liouville 分数阶导数是历史上最早的分数阶导数定义, 也是目前理论研究相对较完善的分数阶导数.

设 \(\alpha>0\) 是任意正实数， \(n\) 是大于 \(\alpha\) 的最小正整数，即 \(0\le n-1\le\alpha<n\) ,则 R-L 分数阶导数定义为：

\[_aD_x^{\alpha}f(x)=D^n(_aD_x^{\alpha-n}f(x))=\dfrac{1}{\Gamma(n-\alpha)}\dfrac{d^n\left(\int_a^x\dfrac{f(\tau)}{(x-\tau)^{(\alpha-n+1)}}d\tau\right)}{dx^n} \]

即先做 \(n-\alpha\) 次分数阶积分，然后再求 \(n\) 次导数。我们注意到 \(0<n-\alpha\le1\)。

引理

引理1

引理2

引理3