整数拆分

有序拆分：

可重：

把n拆成k个数：

• 可以看成求$\sum_{i=1}^{k}x_i=n 的正整数解组数，由组合数学公式得方案数为：C_{n-1}^{k-1} $

把n拆成若干个数：

• 可以求\(\sum_{k=1}^{n}\)$C_{n-1}^{k-1} $，由二项式定理得方案数为\(2^{n-1}\)
• 也可以递推，方程为：$f(n)=1+\sum_{i=1}^{n-1}f(n-i) ，解得通项公式为f(n)=2^{n-1} $

把n拆成最大数不超过k的若干个数或把n拆成最大数为k的若干个数：

• 可类似上述递推方法求得

不可重或其它限制：

• 二维递推方程
• 无序拆分的排列

无序拆分：

可重：

性质一

• 把整数n拆分成最大数为k的拆分数，和把n拆分成k个数的拆分数相等。

性质二

• 把整数n拆分成最多不超过m个数的拆分数，和把n拆分成最大不超过m的拆分数相等。

Ferrers图像:

把n拆成k个数：

• $f[n][k]=f[n-1][k-1]+f[n-k][k] $
• 可以理解为把\(n-1\)个数拆成\(k-1\)个再在后面加一个\(1\)和把\(n-k\)拆成\(k\)个数再给每个数加\(1\)

把n拆成不超过k个数：

• 拆成\(k\)个数求和
• 利用性质2，完全背包：$f[n][k]=f[n-k][k]+f[n][k-1] $

不可重：

把n拆成k个数：

• $f[n][k]=f[n-k][k-1]+f[n-k][k] $
• 可以理解为:
  把\(n-k\)个数拆成\(k-1\)个后给每个数加\(1\)再在后面加一个\(1\)和把\(n-k\)拆成\(k\)个数再给每个数加\(1\)
• 由于不可重，所以可以跳过$n<\sum_{i=1}^ki $的情况

把n拆成不超过k个数：

• 拆成\(k\)个数求和

把n拆成最大不超过k的若干个数：

• 01背包：$f[n][k]=f[n-k][k-1]+f[n][k-1] $

在给出的k种数中选择一些组合成n的方案数：

每种数有无数个：

• 完全背包：$f[n][k]=f[n-v[k]][k]+f[n][k-1] $

第k种数有a[k]个：

• 多重背包