实数理论导引

构造方法与公理化方法：

构造：首先确定地描述一组对象，再证明所述对象满足的性质。

• 就实数构造来说，此方法(先用进制表示法描述实数)更符合直觉。

公理化：首先提出一组公理，证明该组公理的一致性。再找出满足所述公理的一个模型，证明此公理模型(在同构意义下)的唯一性。

• 公理刻画了所描述的对象的本质属性。这个特点在实数理论里不是很明显,但在拓扑的同调理论里面公理化的方法就显示出它的好处了：拓扑里面有多种方法构造拓扑空间的同调群,但是很多不同的方法构造出的同调群都是同构的。公理化方法可以用较自然的理由可以说明这一点呢：人们发现了同调群的几个"关键属性" (可以把同调群看成拓扑空间范畴到分次阿贝尔群范畴上的一个函子),这几条"关键性质"可以作为这个函子应该满足的公理，而后人们证明了满足这些公理的函子是唯一的。最后，用不同的方法具体构造出的具体的同调群通通满足这几条公理,根据general nonsense,他们自然同构。

实数公理

实数集记为\(\mit R\),对\(\forall x,y \in \mit R\),有：

域的公理

• 交换律：\((x+y)=(y+x)\in \mit R\),\((x*y)=(y*x)\in \mit R\)
• 结合律：\(x+(y+z)=(x+y)+z,x*(y*z)=(x*y)*z\)
• 分配律：\(x*(y+z)=(x*y)+(x*z)\)
• 加法零元与加法负元：\(\exists z \in \mit R\),\(x+z=y\),记\(z=y-x\),记\(x-x \equiv 0\)(加法零元),记\(0-x=-x\)(加法负元),有以下部分推论:
  • \(0=-0\)
  • \(y+(-x)=y-x\)
  • \(z*(y-x)=z*y-z*x\)
• 乘法幺元与乘法逆元:\(\exists z \in \mit R\),\(x*z=y(x \not= 0)\),记\(z=y/x\),记\(x/x \equiv 1\)(乘法幺元),记\(1/x=x^{-1}\)(乘法逆元),有以下部分推论：
  • \(1 \not= 0\)
  • \((-1)*x=-x\)
  • \(-(-x)=x\)

序的公理

\(\mit R\)中存在\(=,>,<\)三种关系

• \((x=y) \bigvee ((x<y) \bigwedge (y>x)) \bigvee ((x>y) \bigwedge (y<x))\)
• \((x<y) \Rightarrow (\forall z \in \mit R\),\(x+z<y+z)\)，有以下部分推论：
  • \(x=x\)
• \((x,y>0) \Rightarrow (x*y>0)\),有以下部分推论：
  • \(1>0\)
• \(((x>y) \bigwedge (y>z)) \Rightarrow (x>z)\)

上确界公理

\(\forall (S \subset R) \bigwedge (S \not= \emptyset)\),若\(S\)上有界则\(S\)有上确界

 到目前为止，一切可接受。接下来的内容则不全为严谨表述。我的处理方式是暂不对涉及集合论与数理逻辑的内容作深入解释，而是作为下一步的学习内容。

• 这一条公理一般称作实数的完备性公理，有许多等价表述(不过据说一些等价表述的互推要用到选择公理等)，且其中一些表述(如柯西序列)可推广至一般的度量空间。

自然数集\(\mit N\)的定理(又称Peano公理，但可由集合论系统推出，于是在此将下述性质作为关于自然数的定理处理)

• A1 \(0\in \mit N\)
• A2 \(x\in \mit N\)\(\Rightarrow\)\(S(x)\in \mit N\)
• A3 \(x\in N \Rightarrow S(x) \not= 0\)
• A4 \(x,y \in N,S(x)=S(y) \Rightarrow x=y\)
• A5 \((0\in M)\bigwedge(x\in M\Rightarrow S(x)\in M)\Rightarrow N \subset M\)

由该5条定理，我们可在N上定义+与*.
x+0=x,x*0=0
x+S(y)=S(x+y),x*S(y)=(x*y)+x
至于序关系，则可由自然数的集合表示刻画.

N,Z,Q,R及其上定义的关系与实数公理的相容性

我已记在笔记本上，视情况补充。

关于实数公理的一致性与实数模型的唯一性

一致性

这实际要我们构造出实数模型，严格的构造应当会用到专业的集合论知识(如分离公理，有限选择公理；更一般地说，关于集合的合法构造，所选公理系统的一致性等问题)，因此我暂时还没有看到完整的严格构造方法(包括在各网络平台(如知乎)与分析学教材(如Zorich,Tao)，尽管它们简单介绍了集合论知识)。

我的构造方法：进制表示法(以十进制位例)

说明：证明进制表示法其运算规则的正确性(我曾看过一个介绍“...符号定理”的文章处理过同样问题，不过现在找不到了)，这是我的主要目的。

• 首先，定义(同时定义数字间序关系)：
  • \(\mit 0\)=0
  • \(\mit 1\)=0+1
  • \(\mit 2\)=(0+1)+1
    \(\ldots\)
  • \(\mit 9\)=\(\cdots\)
• 用\(N\)的一个变换 \(f:N \rightarrow N\)来表示一个自然数，且要求：\(\exists n \in N\),\(((f(n) \not= 0)\bigvee(n=0)) \bigwedge ((m \in N)\bigwedge (m>n) \Rightarrow f(n)=0) \bigwedge ((m \in N)\bigwedge (m<n)\Rightarrow f(m) \leq \mit 9\)\()\)
• 定义加法 \(f=f_1+f_2\),则\(f\)由以下规则唯一确定：\(t_+\)取个位数加法的个位,\(T_+\)取个位数加法的进位,\(k\)_\(1,2\)\((0)\)\(:=\)\(\mit 0\),
  \(k\)_\(1,2\)\((S(i))\)\(:=\)\((T_+(f_1(i),f_2(i))\)\(=\)\(\mit 1\)\()\)\(\bigvee\)\((T_+(t_+(f_1(i),f_2(i)),k\)_\(1,2\)\((i)\)\()=\)\(\mit 1\)\()?\)\(\mit 1\):\(\mit 0\)
  \(f(i)\)\(:=\)\(t_+(t_+(f_1(i),f_2(i)),\)\(k\)_\(1,2\)\((i)\)\()\)
• 令\(eps=\)\(\mit 0\),\(e=\)\(\mit 1\),\(inf=\)\(\mit 9\),\(f_l=f_x+(f_y+e),f_r=(f_x+f_y)+e\)可证明\(f_l=f_r\):

i)枚举可知：\(f_l(0)=f_r(0)\),或者说,对个位数x,y,有\(x+(y+e)=(x+y)+e\)

ii)显然：\(f_l(i+1)=t_+(t_+(f_x(i+1),t_+(f_y(i+1),\)\(k\)_\(y,1\)\((i+1)\)\()),k_l(i+1))\)

\(f_r(i+1)=t_+(t_+(t_+(f_x(i+1),f_y(i+1)),\)\(k\)_\(x,y\)\((i+1)\)\(),k_r(i+1))\)

讨论：对\(u(i+1)=(\)\(k\)_\(y,1\)\((i+1)\),\(k_l(i+1)\),\(k\)_\(x,y\)\((i+1)\),\(k_r(i+1))\)

1. \(u(i+1)=(eps,eps,eps,eps):\)

 \(f_l(i+1)=f_r(i+1)\)

2. \(u(i+1)=(e,eps,e,eps)\) or \(u(i+1)=(e,eps,eps,e):\)

 \(f_l(i+1)=t_+(f_x(i+1),t_+(f_y(i+1),e))=t_+(t_+(f_x(i+1),f_y(i+1)),e)=f_r(i+1)\)

易证：\(u=(e,eps,e,e),u=(e,e,...,...)\)非法.

3. \(u(i+1)=(eps,e,e,eps)\) or \(u(i+1)=(eps,e,eps,e):\)

 \(f_l(i+1)=t_+(t_+(f_x(i+1),f_y(i+1)),e)=f_r(i+1)\)

易证：\(u=(eps,e,e,e)\)非法.

4. 证明\(u(i+1)=(eps,e,eps,eps)\)非法：

引理：当\(i\in N\),\(i \not= 0\),\(\exists j \in\)\(\mit N\),\(S(j)=i\),定义\(i-1:=j\).

易证：\(u(i+1)=(e,eps,eps,eps)\)非法,因为

\(u(i+1)=(e,eps,eps,eps) \Rightarrow (f_x(i),f_y(i))=(f_x(i-1),f_y(i-1))=...=(f_x(0),f_y(0))=(eps,inf).\)

若\(f_x(i)+f_y(i)<inf\),则:
(a)\(k\)_\(y,1\)\((i)=e,f_x(i)+f_y(i)=inf\);
(b)\(k\)_\(y,1\)\((i)=eps,k\)_\(l\)\((i)<=e,k_l(i+1)=eps\).
于是\(f_x(i)+f_y(i)=inf\).当\(i=0\),有\(k_r(i+1)=e\);当\(i \not= 0\),由\(u(i+1)\),有\(u(i)=(eps,e,eps,eps)\)

于是\(u(i)=u(i-1)=...=u(1)=(eps,e,eps,eps)\),
\(f_x(i)+f_y(i)=...=f_x(0)+f_y(0)=inf,k_r(1)=e\),矛盾.

综上,\(f_l=f_r\).

• 由此,可证明加法结合律.然后依次证明:加法交换律,乘法交换律,乘法分配律,乘法结合律.这些证明我已记在笔记本上.到此,自然数构造及表示基本完成.