[ABC126F] XOR Matching 题解

很好的构造题。

题意

请构造一个长度为 \(2^{m+1}\) 的序列 \(a\)，该序列满足：

• \(\forall i \in[1, 2^{m+1}], a_i \in [0, 2^m-1]\) 且每个数都恰好出现两次。
• 对于任意一对 \((i, j)\) 满足 \(a_i = a_j\)，\(a_i\oplus a_{i+1} \oplus \cdots \oplus a_{j-1} \oplus a_j = k\)。

\(\oplus\) 表示按位异或。

思路

很显然，当 \(k>2^m-1\) 时无解。

再考虑平凡的的情况：

• 当 \(m\) 为 \(0\)，\(k\) 为 \(0\) 时，只有 0 0 一组解。
• 当 \(m\) 为 \(1\)，\(k\) 为 \(0\) 时，样例告诉我们只有 0 0 1 1 一组解。
• 当 \(m\) 为 \(1\)，\(k\) 为 \(1\) 时，样例告诉我们无解。

接下来考虑一般情况：

我们知道，\(a \oplus a\) 为零，所以只需构造一个序列形如：

\[0,1 \dots 2^m-1,k,2^m-1 \dots 1,0,k \]

该式满足：对于任意一对 \((i, j)\)，\(a_i = a_j\)，\(a_i\oplus a_{i+1} \oplus \cdots \oplus a_{j-1} \oplus a_j = k\)。
显然，这个序列除最后一个元素外是回文的，并且所有数字都出现了 \(2\) 次，正好可以相互抵消。
对于 \(k\) 形成的子序列，有一个公式：\(0\oplus 1 \oplus 2 \oplus \dots \oplus k=0\)，因为在 \(0\) 至 \(k\) 的序列中，每一位上都出现了偶数个 \(1\)，全部抵消后便为 \(k \oplus 0=k\)。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll a,s,d[100005],f;
ll ans;
int main(){
    scanf("%lld%lld",&a,&s);
    if(a==1&&s==0){
        printf("0 0 1 1");
        return 0;
    } 
	if(s>=pow(2,a)){
		printf("-1");
		return 0;
	}
	for(int i=0;i<pow(2,a);i++){ 
		if(i==s) continue;
		printf("%lld ",i);
	}
	printf("%lld ",s);
	for(int i=pow(2,a)-1;i>=0;i--){ 
		if(i==s) continue;
		printf("%lld ",i);
	}
	printf("%lld",s);
    return 0;
}