[DP] 传纸条 题解
题目描述
小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。
在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。
还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-100的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度只和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。
输入格式
输入文件message.in的第一行有2个用空格隔开的整数m和n，表示班里有m行n列（1<=m,n<=50）。 接下来的m行是一个m*n的矩阵，矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度。每行的n个整数之间用空格隔开。
输出格式
输出文件message.out共一行，包含一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。
题解
这个题一看没有规律可循，又是在矩阵中，考虑坐标DP；
我们既要考虑从左上到右下，又要同时考虑从右下到左上，很麻烦，不如同时考虑走两遍左上到右下，每次只要让这两次不走同一个点即可；
定义f[i][j][k][o]表示第一次走到点(i, j)，第二次走到点(k, o)时的最优解，根据坐标DP的性质，这个状态可以由它们的上一步（即左边和上边）转移而来；（一共有四种情况，即：1.走第一次时从左边转移而来，走第二次时从上边转移而来；2.走第一次时从左边转移而来，走第二次时从左边转移而来；1.走第一次时从上边转移而来，走第二次时从左边转移而来；1.走第一次时从上边转移而来，走第二次时从上边转移而来）；
所以
状态转移方程
其中，a为初始矩阵；
特殊情况：当两个点走到同一个位置时，只能加一次价值；
初始化
都在起点，所以是0；
目标
代码
#include <iostream>
using namespace std;
int n, m;
int a[105][105];
int f[105][105][105][105];
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
cin >> a[i][j];
}
}
f[1][1][1][1] = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
for (int k = 1; k <= n; k++) {
for (int o = 1; o <= m; o++) {
f[i][j][k][o] = max(max(f[i - 1][j][k - 1][o], f[i - 1][j][k][o - 1]), max(f[i][j - 1][k - 1][o], f[i][j - 1][k][o - 1])) + a[k][o] + a[i][j];
if (i == k && j == o) {
f[i][j][k][o] -= a[i][j]; //只有一个点能走到点（i，j），所以不能加两次，要减一次；
}
}
}
}
}
cout << f[n][m][n][m];
return 0;
}
