矩阵树定理

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矩阵树定理

给定带权无向图 $G$，求出 $\sum _T\prod _{e\in T}{w}_e$ 的值。

定义

• 定义 $[n]=\{1,2,3,\cdots ,n\}$

• 对于无向图，定义 $D(G)$ 为其度数矩阵，有：$D(G{)}_{ij}=\{\begin{array}{cc}{\mathrm{deg}}_i& i=j\\ 0& i\ne j\end{array}$.

• 对于有向图，定义 $D^{\text{in}}(G)$ 和 $D^{\text{out}}(G)$ 分别表示其入度矩阵和出度矩阵，有：$D^{\text{in}}(G{)}_{ij}=\{\begin{array}{cc}{\mathrm{deg}}_i^{\text{in}}& i=j\\ 0& i\ne j\end{array},D^{\text{out}}(G{)}_{ij}=\{\begin{array}{cc}{\mathrm{deg}}_i^{\text{out}}& i=j\\ 0& i\ne j\end{array}$.

• 定义 $A(G)$ 为图的邻接矩阵。$A(G{)}_{ij}$ 表示 $i$ 连向 $j$ 的边的数量。

• 定义无向图的 Laplace 矩阵 $L$ 为 $L(G)=D(G)-A(G)$。有向图的情况可以类似的定义 $L^{\text{in}}$ 和 $L^{\text{out}}$.

• 定义图 $G$ 以 $u$ 为根的根向树和叶向树的数量分别为 $t^{\text{root}}(G,u)$ 和 $t^{\text{leaf}}(G,u)$。

• 定义矩阵 $A$ 的子矩阵 $A_{S,T}$ 为选取 $i\in S$，$j\in T$ 构成的元素。

• 定义有向图 $G$ 的关联矩阵为 $M(G)$（无向图可以随便定方向），有 $M^{\text{in}}(G{)}_{ij}=\{\begin{array}{cc}\sqrt{w(e_j)}& \text{i is the starting point of edge j}\\ 0& \text{otherwise.}\end{array},M^{\text{out}}(G{)}_{ij}=\{\begin{array}{cc}\sqrt{w(e_j)}& \text{i is the end of edge j}\\ 0& \text{otherwise.}\end{array}$，令 $M(G)=M^{\text{in}}(G)-M^{\text{out}}(G)$。

不难发现

$$D^{\text{in}}=M^{\text{in}}\cdot (M^{\text{in}}{)}^T,D^{\text{out}}=M^{\text{out}}\cdot (M^{\text{out}}{)}^T,A(G)=M^{\text{in}}\cdot (M^{\text{out}}{)}^T.$$

进而有

$$L^{\text{in}}(G)=M^{\text{in}}\cdot (M^{\text{in}}-M^{\text{out}}{)}^T,L^{\text{out}}(G)=(M^{\text{out}}-M^{\text{in}})\cdot (M^{\text{out}}{)}^T.$$

对于无向图有

$$L(G)=M\cdot M^T$$

定理

• 对于无向图 $G$ 和任意的 $k$，有 $t(G)=detL(G{)}_{[n]\setminus \{k\},[n]\setminus \{k\}}$
• 对于有向图 $G$ 和根 $u$，有 $t^{\text{root}}(G)=det{L}^{\text{out}}(G{)}_{[n]\setminus \{u\},[n]\setminus \{u\}}$，$t^{\text{leaf}}(G)=det{L}^{\text{in}}(G{)}_{[n]\setminus \{u\},[n]\setminus \{u\}}$

证明

引理 1（Cauthy-Binet）：

对于 $n\times m$ 的矩阵 $A$ 和 $m\times n$ 的矩阵 $B$，有

$$det(AB)=\sum _{S\subseteq \{1,2,\cdots ,m\}\wedge |S|=n}det{A}_{[n],S}\cdot det{B}_{S,[n]}$$

如果 $n>m$，则必有 $det(AB)=0$。

证明咕了。

引理 2：

对于图 $G$ 的子图 $(V^{\prime },E^{\prime })$，若 $|E^{\prime }|\le |V^{\prime }|$，则子图 $T$ 是一棵以 $V\setminus V^{\prime }$ 为根的根向生成树当且仅当

$$det(M_{V^{\prime },E^{\prime }}^{\text{out}})det(M_{V^{\prime },E^{\prime }}^{\text{out}}-M_{V^{\prime },E^{\prime }}^{\text{in}})\ne 0$$

且该式的值在不为 $0$ 时，恰好为 $\prod _{e\in E^{\prime }}{w}_e$。

证明：

记 $w(T)=\prod _{e\in T}{w}_e$。先把行列式中每行的 $\sqrt{w_e}$ 提出来，最后的答案再乘上一个 $w(E^{\prime })$ 就行了。

先考虑第一个行列式。如果 $M_{V^{\prime },E^{\prime }}^{\text{out}}$ 存在某行全是 $0$（该点集中存在点没有在边集中出现），那么 $det(M_{V^{\prime },E^{\prime }}^{\text{out}})$ 就是 $0$。然后又由于每条边只有一个出点，所以每行恰好有一个 $1$。所以这个式子保证了就有 $|V^{\prime }|=|E^{\prime }|$，但是没有保证 $T$ 是一棵根向生成树。

现在考虑第二个行列式：$M_{V^{\prime },E^{\prime }}^{\text{out}}-M_{V^{\prime },E^{\prime }}^{\text{in}}$。这个矩阵中每行只有一个 $1$，零个或一个 $-1$。若 $T$ 中存在环，这些边为 $e_1\to e_2\to \cdots \to e_m$。则行列式会长成形如这样的东西：

$$\left[\begin{array}{ccccccccc}0& 1& 0& 0& -1& 0& 0& 0& \cdots \\ 1& 0& 0& 0& 0& -1& 0& 0& \cdots \\ 0& 0& -1& 0& 0& 1& 0& 0& \cdots \\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& -1& \cdots \\ 0& -1& 0& 0& 0& 0& 0& 1& \cdots \\ -1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right]$$

记从第 $i$ 行的 $-1$ 处进入点 $i$，$+1$ 处离开点 $i$。回顾消元求解行列式的过程，最后一定会消出一行 $0$。不存在环，那么就可以从叶子处开始消（叶子的那一行有且仅有一个 $1$，其余的都是 $0$），可以把它的父亲所在行的 $-1$ 消掉。最后消出来的结果其实就是 $det(M_{V^{\prime },E^{\prime }}^{\text{out}})$。

所以当且仅当 $T$ 是一棵以 $V\setminus V^{\prime }$ 为根的根向生成树时 $det(M_{V^{\prime },E^{\prime }}^{\text{out}})det(M_{V^{\prime },E^{\prime }}^{\text{out}}-M_{V^{\prime },E^{\prime }}^{\text{in}})=det(M_{V^{\prime },E^{\prime }}^{\text{out}}{)}^2=w(T)\ne 0$。

$◻$

根据刚刚的证明，有更通用的结论：

$$\sum _{T\in \tau (G,u)}\prod _{e\in T}{w}_e=det{L}^{\text{out}}(G{)}_{[n]\setminus \{u\},[n]\setminus \{u\}}$$

这里的 $\tau (G,u)$ 表示图 $G$ 以 $u$ 为根的根向生成树集合。

时间复杂度是求行列式的 $\mathcal{O}(n^3)$。

例题先咕了。