CF1957E Carousel of Combinations

Carousel of Combinations

题目链接。

Problem

求：$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^i(F(i,j)modj)$。

其中 $F(i,j)$ 表示从 $i$ 个数当中选 $j$ 个的不同圆排列数。

最终答案对 ${10}^9+7$ 取模。

注意区分题目中的两个取模的位置。

数据范围：$t\le {10}^5$，$n\le {10}^6$。

Sol

首先 $F(i,j)=\frac{i!}{(i-j)!j}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})(j-1)!$。然后 $(j-1)!modj$ 只有在 $j$ 是素数或者 $j=4$ 的时候值不为 $0$。$j=4$ 的时候可以单独算。当 $j\in \text{prime}$ 的时候，$F(i,j)=-(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})modj=-(\genfrac{}{}{0ex}{}{\lfloor i/j\rfloor }{j/j})\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{imodj}{jmodj})=-\lfloor \frac{i}{j}\rfloor$。现在要求 $\sum _{p\in \text{prime}}((\sum _{i=1}^n\lfloor \frac{i}{p}\rfloor )modp)$。这个东西直接做是会 T 的，但是 $\lfloor \frac{i}{p}\rfloor$ 的总的断点个数是 $\mathcal{O}(n\ln \ln n)$ 的。考虑对这个东西直接线性筛，枚举质数 $p$，然后就是做 $\lfloor \frac{n}{p}\rfloor$ 段区间加。这里可以直接差分，最后跑一遍前缀和即可。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
#define fi first
#define se second
const int mod = 1e9 + 7;
int vis[1000005], prC, pri[1000005];
ll ans[1000005];
void Init(int n = 1e6) {
   for (int i = 2; i <= n; ++i) {
   	if (!vis[i]) pri[++prC] = i;
   	for (int j = 1; j <= prC && i * pri[j] <= n; ++j) {
   		vis[i * pri[j]] = 1;
   		if (i % pri[j] == 0) break;
   	}
   }
   vis[4] = 0;
   for (int i = 2; i <= n; ++i) {
   	if (vis[i]) continue;
   	ll t = i == 4 ? 2 : i - 1;
   	for (int j = 1, k = i; k <= n; ++j, k += i) {
   		ll w = j * t % i;
   		(ans[k] += w) %= mod;
   		if (k + i <= n) (ans[k + i] -= w) %= mod;
   	}
   }
   for (int i = 1; i <= n; ++i) (ans[i] += ans[i - 1] + mod) %= mod;
   for (int i = 1; i <= n; ++i) (ans[i] += ans[i - 1] + mod) %= mod;
}
int n;
void Solve() {
   scanf("%d", &n);
   printf("%lld\n", ans[n]);
}
int main() {
   Init();
   int T;
   scanf("%d", &T);
   while (T--)
   	Solve();
   return 0;
}