网络流学习笔记（未完成）
知识点后面再补。
本文可能对于部分题目没有时间复杂度或证明，若看到了可以提醒我一下，有错欢迎指出，当然也欢迎催更。
大部分题目选自 command_block 的 网络流/二分图相关笔记(应用篇)。题单后面再整理。
符号的约定
边默认为有向边。
\(S\)：源点。
\(\mathbb{S}\)：从 \(S\) 出发，不经过边权为 \(w\) 的边所能达到的点集。
\(T\)：汇点。
\(\mathbb{T}\)：从 \(T\) 出发，不经过边权为 \(w\) 的边所能到达的点集。
\(V\)：点集。
\(E\)：边集。
\(cut\)：最小割。
\((u,v)\)：\(u\to v\) 的边。
\((u,v,w)\)：\(u\to v\) 的权为 \(w\) 的边。
\((u,v,[low,upp])\)：\(u\to v\) 的权在 \([low,upp]\) 之间的边。
\((u,v,w,c)\)：\(u\to v\) 的权为 \(w\) 且费用为 \(c\) 的边。
\((u,v,[low,upp],c)\)：\(u\to v\) 的权在 \([low,upp]\) 之间的费用为 \(c\) 的边。
\(flow\)：最大流。
\(cost\)：最小/大费用。
最大流建模
二分图最大匹配
首先二分图的最大匹配是可以用最大流解决的。考虑建立虚拟源汇 \(S,T\)，\(S\) 连向左侧点，右侧点连向 \(T\)，边权均为 \(1\)。然后再把原图上所有的 \(u\to v\) 的边赋一个 \(+\infty\) 即可。Dinic 跑二分图最大匹配的时间复杂度是 \(\mathcal{O}(m\sqrt{n})\)。证明还不会/lh。
最大权闭合子图
闭合子图定义：选出点带权（\(a_i \in \mathbb{R}\)）最大的有向图子图 \(V'\)（\(V'\) 可以为空），且满足 \(\nexists (u,v)\in E,u\in V',v\notin V'\)。
考虑最小割。
先说建模方式：建立虚拟源汇 \(S,T\)，\(S\) 连向所有正权点，边权为 \(a_i\)。所有负权点连向 \(T\)，边权为 \(|a_i|\)。然后将所有原图中的边赋为 \(+\infty\)。
则此时的权为：
但是这个建模方式为什么是对的呢？
将已割的负权点和未割的正权点记作 \(A\)。这里的割/未割指的是连向源/汇的边有没有被割。
先证明这个东西是闭合子图。如果 \(A\) 不是闭合子图，则可能指向已割的正权点或未割的负权点。指向负权点则肯定还要割。指向正权点的话，因为该点在原图上连出去所能到达的负权点的点集中，一定有没有被割掉的（否则就不用割掉这个正权点了），所以就不会指向已割的正权点（否则还需再割）。
权是 正权点的权和-割 是因为割掉的正权点不在 \(A\) 中，割掉的负权点在 \(A\) 中，但连向 \(T\) 的权是反的。然后求的是最大权，所以就要求最小割了。
还不知道这种建模方法是怎么想到的呢/gg
