P8386 [PA2021] Od deski do deski 题解

platelett 讲的题欸。

先考虑给定序列怎么做。

问题显然可以转化为能否将序列分成若干个子序列。令 $f_{i}$ 表示前 $i$ 个数是否能够删完。则有 $f_{i} = f_{j} [a_{i} = a_{j}, f_{j} = 1]$ 。这样是 $n^{2}$ 的，也无法扩展至所有数列的情况。

建立一个辅助数组 $g$ 表示是否存值为 $i$ 的数前的值都被删完。则有 $f_{i} = g_{a_{i}}$ ， $g_{a_{i}} ∣= f_{i - 1}$ 。

设 $h_{i}$ 表示长度为 $i$ 的数列能被删完的方案数。但这样显然是无法转移的。

发现影响能否删完的 $f$ 只有三个影响的地方 $(f_{i}, g_{i})$ ，这个 $f$ 是可以在计算时直接用一个变量存下的， $a_{i}$ 是不需要存的。 $g$ 是一个数组是不好存的。但是发现实际上 $h$ 转移的时候只需要知道 $g$ 有多少个地方是 $1$ ，这样就做完了。

定义 $h_{i, j, 0 / 1}$ 表示长度为 $i$ 的数列中， $g$ 中有 $j$ 个 $1$ 且序列合法 / 不合法的情况有多少种。转移方程是显然的了，即 $h_{i, j, 0} = (h_{i - 1, j, 0} + h_{i - 1, j, 1}) \times j$ ， $h_{i, j, 1} = h_{i - 1, j, 0} \times (m - j) + h_{i - 1, j - 1, 1} \times (m - j + 1)$ 。

最后的答案就是 $\sum h_{n, i, 0}$ 。

时空复杂度均为 $O (n^{2})$ 。

代码：

const int N = 3e3 + 10, mod = 1e9 + 7;
int add(int x, int y){ return (x + y) % mod; }
int n, m;
int f[N][N][2];

int main() {
	cin >> n >> m;
	f[1][1][0] = m;
	for (int i = 2; i <= n; ++i) for (int j = 1; j <= n; ++j) {
		f[i][j][0] = add(f[i - 1][j][0] * 1ll * (m - j) % mod, j ? f[i - 1][j - 1][1] * 1ll * (m - j + 1) % mod : 0),
		f[i][j][1] = add(f[i - 1][j][0], f[i - 1][j][1]) * 1ll * j % mod;
	}
	int ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		ans = add(ans, f[n][i][1]);
	cout << add(ans, mod) << "\n";
	return 0;
}