P9755 [CSP-S 2023] 种树 题解

P9755

upd on 2023.11.20：增加细节说明。

刚开始浪费太多时间了，导致赛时没调出来，有点火大。

如果一开始没有头绪的话可以先看一下特殊性质，链是直接贪心。

考虑一下菊花，发现直接贪心是不可做的，但是发现树的高度随时间增大而增大，可以用二分转化为判定性问题解决。

对于任意的树来说，参考菊花，考虑二分出时间，转化为判定性问题。可以通过求根公式或者再套一层二分求出每个点最晚被种树的时间。然后贪心的按照求出的每个点最晚植树的时间 \(t\) 排序，从小到大的植树即可，由于每个点最多只会被染色一次，可以直接暴力染色，遇到访问过的终止即可，均摊下来是 \(\mathcal{O}(1)\) 的。

这样的话复杂度是 \(\mathcal{O}(q\log T\log n)\) 的，\(T\) 为最少天数，这里是 \(10^9\)。但是其实是可以去掉后面的 \(\log n\) 的，\(t_i\) 是可以 \(\mathcal{O}(1)\) 的用求根公式求出，最后的排序可以用桶，因为 \(t_i>n\) 的是无所谓的。这样的话就是单 \(\log\) 的了。空间线性。

注意有些地方可能会爆 long long。

代码里的二分写法可能和其他的不是很一样。

\(c_i < 0\) 时要注意 \(tim\) 和 \(mxc\) 的关系，因为生长的总高度是 \((b + mid\times c)+(b+(mid+1)\times c+\dots+(b + \min(mxc, tim)\times c))+\max(0, tim-mxc)\)，即增长速度大于 \(1\) 的段不一定能将 \(mxc\) 天都取满，其中 \(mxc\) 是多少时间过后，增长速度恒为 \(1\)，\(mid\) 和 \(tim\) 分别表示从第几天开始长和第几天全部长好。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define i128 __int128
#define vi vector<int>
#define eb emplace_back
#define pii pair<int, ll>
#define fi first
#define se second
#define TIME 1e3 * clock() / CLOCKS_PER_SEC
bool Mbe;
mt19937_64 rng(35);
constexpr int N = 1e5 + 10;
int n;
int b[N], c[N], fa[N];
ll a[N];
int head[N], cnt_e;
struct edge{
	int v, nxt;
} e[N << 1];
void adde(int u,int v){
	++cnt_e, e[cnt_e].v = v, e[cnt_e].nxt = head[u], head[u] = cnt_e;
}
void dfs(int u, int ff){
	fa[u] = ff;
	for(int i = head[u]; i; i = e[i].nxt) {
		int v = e[i].v;
		if(v == ff) continue;
		dfs(v, u);
	}
}
int stk[N], tp, vis[N], id[N];
ll t[N];
i128 calc(int i, int tl, int tr, int mxc) {
	if(mxc < tl) return tr - tl + 1;
	if(mxc > tr) return (tr - tl + 1) * 1ll * b[i] + (tr - tl + 1) * ((i128)(tl + tr)) / 2 * c[i];
	return (mxc - tl + 1) * 1ll * b[i] + (mxc - tl + 1) * ((i128)tl + mxc) / 2 * c[i] + tr - mxc;
}
bool check(int tim){
	for(int i = 1; i <= n; ++i) {
		if(c[i] < 0) {
			int mxc = ((b[i] - 1) / abs(c[i]));
			int l = 1, r = n;
			while(l <= r) {
				int mid = (l + r) >> 1;
				if(calc(i, mid, tim, mxc) >= ((i128)a[i])) l = mid + 1;
				else r = mid - 1;
			}
			t[i] = r;
		} else if(!c[i]) {
			t[i] = tim - (a[i] + b[i] - 1) / b[i] + 1;
		} else {
			int l = 1, r = n;
			while(l <= r) {
				int mid = (l + r) >> 1;
				if(b[i] * 1ll * (tim - mid + 1) + (tim + mid) * ((i128)tim - mid + 1) * c[i] / 2 >= ((i128)a[i]))
					l = mid + 1;
				else r = mid - 1;
			}
			t[i] = r;
		}
		if(t[i] <= 0) return 0;
	}
	for(int i = 1; i <= n; ++i) id[i] = i, vis[i] = 0;
	sort(id + 1, id + n + 1, [](int a, int b) {
		return t[a] < t[b];
	});
	int now = 0; tp = 0; 
	for(int i = 1; i <= n; ++i) {
		int u = id[i];
		for(; !vis[u]; u = fa[u]) vis[stk[++tp] = u] = 1;
		while(tp)
			if(t[stk[tp--]] < ++now)
				return 0;
	}
	return 1;
}
bool Med;
int main(){
	fprintf(stderr, "%.3lf MB\n", (&Mbe - &Med) / 1048576.0);
	ios :: sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	cin >> n;
	for(int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i] >> b[i] >> c[i];
	for(int i = 1, u, v; i < n; ++i) cin >> u >> v, adde(u, v), adde(v, u);
	dfs(1,0);
	vis[0] = 1;
	int l = n, r = 1e9;
	while(l <= r) {
		int mid = (l + r) >> 1;
		if(check(mid)) r = mid - 1;
		else l = mid + 1;
	}
	cout << l << "\n";
	cerr << TIME << "ms\n";
	return 0;
}