UVA12170 轻松爬山 Easy Climb 题解

UVA12170

7 月份的题了，补一补。场上写挂了一点还是很遗憾的。

容易想到 dp。

但是由于值域非常大，直接 dp 是不行的。但是 $n$ 非常小，容易想到离散化。

但是离散化后是不能直接加减的。有用的数值初看是有 $\mathcal{O}(n^{2}d)$ 的，即 $h_i+kd(k\in (-n+1,n))$，这肯定是不行的。但是通过观察可以发现这个东西肯定有一种方案存在 $i,j$ 使得最终所有高度都能用 $h_i+jd$ 的方法表示出来。

这其实是很容易想到的，感性的想一下，后面有一个很高的 $j$，使得 $i\sim j$ 之间的山峰需要递增的话，第 $j-1$ 座山一定是 $h_i+kd$ 或 $h_j-d$，因为如果是 $h_i+kd+\mathrm{\Delta }$ 且这个数与任意的 $h_j$ 的差均不是 $d$ 的倍数时，它一定有更优的方法被 $h_j+kd$ 表示出来，即 $\mathrm{\Delta }$ 是没有必要的，比如两个相邻的高度差为 $H(H>d)$ 的山峰一定是变化 $kd+Hmodd$ 的，再变就不优了。而 $\mid k{\mid }_{max}=n-1$ 的原因是 $\mid h_n-h_1\mid$ 最多就是 $(n-1)d$，否则一定无解。

想到这里之后，dp 就是简单的了。

$f_{i,j}$ 表示前 $i$ 座山，高度为 $b_j$ 时的最小花费，其中 $b$ 为离散化后的数组。

$f_{i,j}=\underset{|b_j-b_k|\le m}{min}\{f_{i-1,k}+|a_i-b_j|\}$。

这样转移的复杂度太高，显然可以使用单调队列优化至 $\mathcal{O}(n^3)$。

最后的答案是显而易见的：$ans=f_{n,i}(b_i=a_n)$。

时间复杂度：$\mathcal{O}(n^3)$。

空间复杂度：$\mathcal{O}(n^2)$。

代码非常好写，就不放了。