UVA12170 轻松爬山 Easy Climb 题解
7 月份的题了，补一补。场上写挂了一点还是很遗憾的。
容易想到 dp。
但是由于值域非常大，直接 dp 是不行的。但是 \(n\) 非常小，容易想到离散化。
但是离散化后是不能直接加减的。有用的数值初看是有 \(\mathcal{O}(n^2d)\) 的，即 \(h_i + kd(k\in(-n+1, n))\)，这肯定是不行的。但是通过观察可以发现这个东西肯定有一种方案存在 \(i, j\) 使得最终所有高度都能用 \(h_i+jd\) 的方法表示出来。
这其实是很容易想到的，感性的想一下，后面有一个很高的 \(j\)，使得 \(i \sim j\) 之间的山峰需要递增的话，第 \(j - 1\) 座山一定是 \(h_i + kd\) 或 \(h_j - d\)，因为如果是 \(h_i + kd +\Delta\) 且这个数与任意的 \(h_j\) 的差均不是 \(d\) 的倍数时，它一定有更优的方法被 \(h_j + kd\) 表示出来，即 \(\Delta\) 是没有必要的，比如两个相邻的高度差为 \(H(H>d)\) 的山峰一定是变化 \(kd+H \bmod d\) 的，再变就不优了。而 \(\mid k\mid_{max} = n-1\) 的原因是 \(\mid h_n - h_1\mid\) 最多就是 \((n-1)d\)，否则一定无解。
想到这里之后，dp 就是简单的了。
\(f_{i, j}\) 表示前 \(i\) 座山，高度为 \(b_j\) 时的最小花费，其中 \(b\) 为离散化后的数组。
\(f_{i, j} = \min\limits_{|b_j - b_k| \le m}\{f_{i - 1, k} + |a_i - b_j|\}\)。
这样转移的复杂度太高，显然可以使用单调队列优化至 \(\mathcal{O}(n^3)\)。
最后的答案是显而易见的：\(ans = f_{n, i}(b_i=a_n)\)。
时间复杂度：\(\mathcal{O}(n^3)\)。
空间复杂度：\(\mathcal{O}(n^2)\)。
代码非常好写，就不放了。
