ABC298Ex Sum of Min of Length

ABC298Ex

这个 Ex 好水啊。

因为是求 $\sum _{i=1}^{n}min\{d(i,L),d(i,R)\}$ 的值，考虑讨论 $d(i,L)$ 和 $d(i,R)$ 的大小。

令 $p=\text{LCA}(L,R)$，$de{p}_L>de{p}_R,dist=de{p}_L+de{p}_R-2\times de{p}_p$，$now$ 满足 $de{p}_L-de{p}_{now}=\lfloor {\displaystyle \frac{dist}{2}}\rfloor$

则 $L$ 一定在 $now$ 的子树内，且对于 $\mathrm{\forall }i\in \{\text{subtree}(now)\}$ 时均有 $d(i,L)\le d(i,R)$，否则 $d(i,L)>d(i,R)$。其中 $\text{subtree}(x)$ 表示 $x$ 的子树。

容易想到求一个点到其他点的距离和。

令 $va{l}_i$ 表示 $\sum _{j=1}^{n}d(i,j)$。

在 dfs 时处理一下即可，显然可以做到 $\mathcal{O}(n)$。

最后再将 $dist$ 奇偶讨论一下即可。

时间复杂度：$\mathcal{O}(n+m\log n)$，可以使用线性 LCA 做到 $\mathcal{O}(n+m)$

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