CF1515F Phoenix and Earthquake 题解
简单题。
先猜个结论，当且仅当 $\sum\limits_{i=1}^{n}a_i>(n-1)x$ 时无解，这是好想的。因为每次合并减少一个点，总点权减少 $x$。
它为什么是对的呢？考虑反证法。令 $u$ 为当前的点权最大的点。若不能合并，则有 $a_u<x-a_v$，则 $\sum a_i\le ca_u<c(x-a_v)$，其中 $c$ 为当前点的数量，将括号拆开后显然与和 $\ge (c-1)x$ 相矛盾。原命题得证。
那我们就可以每次选择点权最大的点随便与一条相连的边合并即可。这个可以使用并查集加启发式合并实现，查询全局 $\max$ 可以使用 set 或 线段树。这里的时间复杂度是 $\mathcal{O}(m\log m+n\log n)$，因为这里的启发式合并是用在边集上的。
这样实现起来有点麻烦，考虑能不能简化，即对任意一棵生成树有一个普适的做法。
可以先在叶子节点向上贪心，即 dfs 后的 $v$ 的权值若 $\ge 0$，则与 $u$ 合并。然后再从根向叶子的贪心一遍，从上到下的合并所有未被选择的树边。
贪心的正确性是显然的，在第一次 dfs 时将每个节点的 $a$ 值会变为不能再增加，然后又因为最后一定有解，所以这时再让它不断减少也不会出现负数。想到这个贪心也是容易的，因为最后的总值是非负的，又不能再计算过程中出现负数，肯定就是考虑把能加的先加上，最后统一执行减法操作，这样就一定能保证非负。
实现上，如果第一次 dfs 时不选这条边，是可以直接求出答案的位置的。于是就只需要一次 dfs 了。注意 $a$ 数组合并后有可能会爆 int。
